作平行线

文化   科学   2024-06-17 23:03   广东  

     


仅仅学会了怎么找到平行线是不够的,还需要知道如何作出一条直线的平行线,并且了解一点点「作平行线」在命题证明上的妙用。




 


作出平行线、并将其作为证明工具


把平行线作为证明工具的第一步,首先是需要知道怎么画出来它:

命题I.31

通过直线外一点可以作一条直线的平行线。


命题I.31的题设很简单,一线、一点

命题I.31题设 ▼

假设BC是那条直线、而A是直线外的那个点,现在需要通过A点画出一条BC的平行线。

整理一下思路,这里要做出来过A点的直线BC之平行线,目前咱们能利用的就是前面已经证明过的、平行线与角关系的数个命题,所以辅助线的第一步,需要创造出来一个A与BC间的角:
命题I.31辅助线 ▼

接下来利用命题I.23(给定一条直线和一个其上的点,可以作一个角等于已知角。)得出的结论,这条已知的直线是AD、其上的点是A,要做出来一个∠β与∠α相等:
命题I.31辅助线 ▼

现在要证明,直线AH就是直线BC的平行线:
命题I.31辅助线 ▼

作辅助线过程其实也就是证明过程,通过命题I.27(如果一条直线与另两条直线相交,所形成的内错角相等,那么这两条直线平行。),得到直线AH与直线BC平行,证毕

既然学会了做平行线的技能,下面就可以在命题的证明过程中运用之了:

命题I.32

延长三角形的任意一边所形成的外角,等于不相邻两个内对角的和,三个内角的和等于180°。

命题I.32题设 ▼

命题I.32的意思是指有这样的一个三角形ABC,如果把其中一条边延长(比如BC边),那得到了∠α,这样就有:
  • ∠α = ∠β + ∠γ
  • ∠β∠γ + ∠ζ = 180°

利用刚才证明的命题I.31、过C点作一条与AB的平行线:
命题I.32辅助线 ▼

根据命题I.29(一条直线与两条平行线相交,所形成的内错角相等,同位角相等,同旁内角互补。)有∠δ = ∠β(内错角)、∠ε = ∠γ(同位角),于是就有β+γ = δ+ε = ∠α。 

同时根据命题I.13(两条直线相交,邻角是两个直角或者相加等于180°。),这里是直线AC与直线BC相交、形成了∠α与∠ζ ,于是就有∠α + ∠ζ = 180°,前面刚刚证明了 α = β+γ,那么就有 ∠β + ∠γ + ∠ζ = 180°,证毕



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陈勇
上下千年时空历史地图、生动有趣的博物馆导览、新奇好玩的历史书籍推荐,最后,无聊的时候还能刷刷历史剧、说一说历史游戏。
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