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中考指引：倍角(半角)关系在中考数学真题与模拟题中出现的频率非常高，这类题型通查以压轴题为主，结合辅助线考查勾股定理、全等三角形、等腰三角形的性质、相似三角形等，此类题目条件特征明显，是一类虽难但易攻下的题型.遇二倍角与三倍角时，通过借助构造等腰三角形来解决问题，主要方法有作角平分线、取中点、折叠(对称)的形式、平行等方式进行处理.
方法梳理：
1.向外构造等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠ACB，延长CB至点D使BD=BA，即∠BAD=∠BDA，∠ADC=∠ACD，ABD、ACD都为等腰三角形.
2.在内作角平分线
如图所示，∠ABC=∠ACB，作ABC的平分线BD，则∠DBC=∠DCB，即△BCD为等腰三角形
3.在内作等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠ACB，作线段AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则∠ADB=2∠ACD，即有△ABD和△ACD为等腰三角形
4.作角平分线转化角度
如图所示，∠BAD=2∠CAD，可过点C作CF||AB交AD延长线于点F，则∠F=∠BAD，即有∠F=2∠CAD
5.对称构造等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠CAD，取点D关于AC的对称点E,连接EC、EA，则有∠BEA=∠BAE=90-α，即△ABE和△ADE为等腰三角形
例1(2024深圳模拟)如图，在△ABC中，∠B=90°，D是BC边上一点且满足∠C=2∠BAD，CD=3BD，E是AC边上一点且满足∠ADB=∠ADE，连接BE交AD于点F，则=______
解：第一步：设∠DAB=α，则∠C=2α，取点D关于AB的对称点G，连接GB、GA，易知∠G=90°-α，∠CAG=90°-α，故CA=CG；
第二步：设BD=m，则CD=3m，GB=m，CG=5m，于是CA=5m，于是AB=3m；同时∠ADB=∠ADE=90°-α，于得∠CDE=2α，EC=ED；
第三步：作EH⊥CD于点H，CH=m,cosC=
,即有
得EC=
，在△BDE中，DF平分∠BDE，由角平分线定理可得
例2Rt△ABC中，∠C=90°，DB=3DC，2∠B=∠CAD，则的值为___________
解：如图所示，∠CAD=2∠ABC，分别取点D关于AC、AB的对称点E、F，连接BF、EA并延长交于点G，则△ADE为等腰三角形，∠G=90°，设DC=1，则DB=3，FB=3，CE=1，即BE=5，得GE=3，易得△ABG△ABE,AG=AC,设AG=m，则AE=3-m，在RtACE中，由勾股定理可得得m=
，得AB=
，AD=5/3，故
例3(深圳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边CA上，CD=1，AD=3，且∠BDC=2∠BAC，则BC=____
解：方法一：构造相似
作∠ADB的平分线BE，设∠A=ɑ，则∠ABD=ɑ，∠ABE=∠DBE=ɑ，∠DEB=2ɑ，故△DBE~△DAB，即有BD2=AD·DE，设DE=m，则BD2=3m,由勾股定理可得BC2=BD2-CD2，BC2=BE2-CE2，即有3m-1=(3-m)2-(m+1)2得m=
，可得BC=
方法二：取中点作平行
取AB的中点E连接CE，同时作DF||CE，设∠A=ɑ，则∠DFB=∠DBF=2ɑ，设EF=m，则AF=3m，AE=4m,BD=DF=3m,由勾股定理得64m2-16=9m2-1，m2=可得BC=
方法三：AD的中垂线
易知AF：CF=3：5，设AE=3m则BD=DE=3m，BE=5m，由勾股定理得64m2-16=9m2-1，m2=可得BC=
方法四：
(2024泉州模拟)如图，矩形ABCD中，E、F分别为AD、CD的中点，且BE=5，∠ABE=2∠CBF，则BF=______
