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1.综合与探究
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，AE与BF交于点P
(1)【特例感知】
如图(1),若四边形ABCD是正方形，当∠APB=∠D时，则线段AE与BF的数量关系是______
(2)【深入探究】
如图(2)，若四边形ABCD是菱形，且∠APB=∠D，则线段AE与BF满足怎样的数量关系？请证明你的猜想.关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路，请选择其中一种思路解决问题.
思路一 | 思路二 |
如图，在BC边上取一点M使AM=AB,..... | 如图，在CB的延长线上取一点N使AN=AE，..... |
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(3)【类比迁移】
如图(3)若四边形ABCD是菱形，E为BC的中点，∠APB=∠C=60°，请求出的值；
(4)【联系拓广】
如图(4)在平行四边形ABCD中，AD=3，AB=4，∠C=60°，F是CD边的中点，当点E在直线BC上运动，且直线AE与直线BF所夹的锐角为60°时，请直接写BE的长.
解：(1)AE=BF,(十字架模型)，可证△ABE≌△BCF
(2)证明：
方法一：在BC上取点M使AM=AB，则∠ABM=∠AMB
∵∠BCF+∠ABM=180°，∠AME+∠AMB=180°
∴∠AME=∠BCF
∵∠APB=∠D，∠APB=∠FBC+∠PEB，∠FBC+∠BFC=180°-∠C=∠D
∴∠AEM=∠BFC
∵AB=BC
∴AM=BC
∴△AME≌△BCF
∴AE=BF
方法二：在CB的延长线上取点N使AN=AE，则∠ANE=∠AEN
∵∠APB=∠D，∠APB=∠FBC+∠AEN，∠FBC+∠BFC=180°-∠C=∠D
∴∠AEN=∠BFC
∴∠ANB=∠BFC
∵∠C=180°-∠ABC,∠ABN=180°-∠ABC
∴∠ABN=∠BCF
∴△ABN≌△BCF
∴AN=BF
∴AE=BF
(3)方法一：在BC上取点G，使CG=CF,连接FG
∵∠C=60°
∴△GCF为等边三角形
∴∠CGF=60°，CF=GC=GF
∴∠BGF=120°
∵∠APB=∠PBG+∠PEB=60°，∠PBG+∠BFG=60°
∴∠AEB=∠BFG
∴△ABE~△BGF
∴
,设AB=2，GC=m，则BG=2-m，则有
方法二：在AB延长线上取点G使BG=BE，连接GE，
∵∠ABC=120°
∴∠EBG=60°
∴△BGE为等边三角形
∵∠APB=∠PBE+∠PEB=60°，∠PEB+∠BAE=60°
∴∠PBE=∠BAE
∵∠G=∠C=60°
∴△AEG~△BFC
∴
，设AB=2，得
(4)①如图，当点E在BC的延长线上时，
方法一：在BC上取点G使CG=CF=2，
则△BFG~△AEB,得BE=8；
方法二：在AB延长线上取点H使BG=BE，连接EH，
易知△AEH~△BFC，得BE=8；
②如图，当点E在CB延长线上时，延长BF交AD延长线于点I，先得BF=易知△AGI~△FCB，
得BG=
，又BE||AI得
得BE=
综上所述：BE=8或
点评：题目以正方形中的十字架模型开头，对四边形中进行综合探究，从全等到相似，从直观图到学生自主画图解决问题，在难度上有一个较好的梯度，作为压轴题，对学生要求较高，速度要快、辅助线要想到、画图要相对准确.从题中明显可以找到2024年深圳中考数学压轴题的影子.
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