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如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为AC的中点，点E为BC上一点，且CE=2BE,连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接DF，若AB=6，则DF的长为_________
方法一：相似
作过F作FG⊥AC于点G，易知BE=2，得AE=2，由射影定理得AB2=AF·AE得AF=
，同时AD=3
，于是
，又∠EAC=∠FAD得△EAC~△DAF，故
，即
得DF=
方法二：全等(旋转)
连接BD，在AE上取点H使AH=BF,
易知DA=DB，∠BDA=90°，于是∠DAI+∠AID=90°，∠FBI+∠BIF=90°，∠AID=∠BIF得∠DAI=∠FBI，
故△ADH≌△BDF，DH=DF，∠ADH=∠BDF，
而∠HDI+∠ADH=90°得∠HDI+∠BDF=90°即∠HDF=90°，由方法一知AF=，AH=BE=
得HF=
，得DF=
方法三：补全弦图
如图所示，由方法一知EF=，由EF||CJ得CJ=
，由弦图的性质得AI=CJ，得FI=
，于是DF=
方法四：构造手拉手相似
连接BD，同时在AF上取点M使FM=FB，知∠MBF=∠ABD=45°，故∠ABM=∠DBF，同时得△ABM~△DBF,而AM=AF-BF=
-
，得DF=
方法五：共圆+12345原理
连接BD，易知A、B、F、D共圆，得∠DFN=45°作DN⊥AF于点N，tan∠BAE=1/3，∠CAB=45°得tan∠DAF=1/2，AN=2DN,得AN=2NF，AF=，得NF=
，故DF=
方法六：建坐标系
如图，易知D(3,3),AE的解析式为y=,BF解析式为y=-3x+18，联立得F(
),DF=
=
点评：以上六种方法，涉及全等、相似、弦图结构、共圆、12345原理、坐标系中的一次函数，对学生的基本功底有一定的要求,是一道极好的题目.
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