最近看到教材中有理数的定义改了的消息，一直就想去写个帖子。正好今天学生给我了一节课的视频。我忍不住要把这个有理数的新定义以及其和分数整数小数的关系说一说了。
如果不考虑测量和有效数字的问题，则所有的整数都是分数（相当于分母都是1,或者说，分子可以被分母整除的分数）。因此，分数（这个集合）包含了整数（这个集合）这个结论是没有任何问题的。
同时，分数继续按照分子除以分母算下去呢，肯定要么除尽了（其实也是余数重复，重复的是0）要么发生了余数重复。为什么？因为分母是一个给定的有限大小的整数，余数只能是小于分母的整数之一（小数点的问题，只要找好对应位置，就能够解决，因此分数当作除法计算的时候完全可以忽略小数点）。也就是只有有限个可能的余数。于是，如果除尽了，那么，必然某一步出现余数为零；如果除不尽。则只要继续除下去，必然余数会重复之前出现过的（无限个鸡蛋放到有限个盒子里面，必然有一个盒子里面会出现多余一个的鸡蛋，抽屉原理）。只要余数重复出现了，那么之后所有的商也会重复出现。因此，必然是循环小数（有限小数已经被看作循环节是0）。
那么，有没有不循环小数（注意，不循环的肯定是无限的，否则有限就是循环了0）呢？从概念上，以数的十进制表示为例，你可以每次把当前一位的大小分成十个等分当作下一位选择的方式，然后选的时候保证整体不构成循环。如果需要甚至可以用二进制表示来试试。这个很不容易，但是，是做得到的。从例子上，可以用勾股定理来构建2的平方根，进一步来证明它不是一个分数，于是也就不是一个循环小数。
有了这些概念的铺垫，我们就可以说，分数就是有理数，或者说，一个可以表示为分数（两个整数相除）的数是有理数。因此，新版教材的定义是丝毫没有问题的。
反过来，旧版教材说，“整数和分数统称有理数”是完全错误的。整数本来就是分数的一部分（分子可以被分母整除的那一部分），你统称什么，你怎么把两个完全包含关系的集合合并起来？当然，你要硬说，合并起来以后就是那个更大的集合，也没做。
因此，新版教材上的有理数的定义才是讲逻辑的，数学上也是正确的。
但是，可能是由于教材刚改，老师们经常还会配合这部分知识讲有理数的分类，例如下面这样的：
这就是完全在瞎扯蛋了。分类一般情况下要讲究不重复不漏。但是，整数和分数不重复吗？甚至，分数里面没有0/10=0吗？数学教学参考书竟然可以这样没有逻辑，也是难得。
如果你真的要分类，那就写：有理数——分数——分子被分母整除的分数、分子不能被分母整除的分数，接着写另一个分类维度——正、零、负。再把两个维度结合起来，就得到了完整的分类。这才是数学要做到的逻辑。
顺便，我们怎样才能有真的讲逻辑，讲道理，展现知识体系，数学上还正确的数学书呢？我们怎样才能有能够把这样的数学书搞懂和讲好的数学老师呢？我们怎样才能有值得被信任和尊重的数学教材编写者和数学教师呢？我们怎样才能有尊重这样的编写者和教师的家长呢？
