下面是我贴出来的闪问给出来的对于几道有一定难度的数学应用题的解答。这是我给闪问内测发布会准备的案例和讲稿。（点击原文链接访问）
我一直宣称：
闪问不在于提供问题的答案，
闪问甚至不在于提供具体问题的解题思路，
闪问真正提供给大家的是获得解题思路的方法——问WHWM四个问题，
更进一步，闪问不仅仅是帮助大家求解应用题，在任何一个具有一定目的性的问题的提出和解决上都有意义，
闪问帮助学生学会学习和思考，帮助老师和家长帮助学生学会学习和思考，并且是理解型的上下左右贯通的学习和思考
例如，看到从习题到学科概念和学科思维方式的联系
例如，看到从解题过程以及对解题过程的总结到WHWM闪问的联系
例如，看到从场景到学科概念和学科思维方式的联系
“我和我妈再也不需要担心我的学习了”。
请大家对照着上面宣称的陈述来批判性地赏析下面的例子，顺便帮我们把这个产品进一步提升。
鸡兔同笼变体
用户：
五分的和两分的硬币总共40个，面值1元40分。请问每种硬币各几个？
闪问：
第零，Trans：尽量把题中的每一句话都用数学表达式来表达。原题中是否有某个词，你需要先明确一下其对应的现象是什么，明确表述一下关于这个现象的事实性知识？
答：“请问每种硬币各几个？”表示我们需要求出来五分硬币和两分硬币的数量，也就是说有五分硬币和两分硬币的数量两个数学对象，分别记作和；“五分的和两分的硬币总共40个”表示，“面值1元40分”表示（1元40分=140分）。这里没有我需要专门去明确表达一下的词和现象。
第一、What：这个问题里面有几个对象。这里可以具体到对象的量。这些对象之中哪些是已知的，哪些是要求出来的？
答：这里有五分硬币和两分硬币，具体到数量就是五分硬币的数量（未知，记作，要求出来）和两分硬币的数量（未知，记作，要求出来）；有五分硬币和两分硬币的单个面值，具体到数值就是五分硬币的面值（已知，5分）和两分硬币的面值（已知，2分）；有五分硬币和两分硬币的面值总和，具体到数值就是五分硬币的面值总和（记作，未知）和两分硬币的面值总和（记作，未知）；有五分硬币和两分硬币的总数量（已知，40个，记作）；有总面值（已知，140分，记作）。
第二、How：这些对象之间有什么关系，这些关系用什么样的数学表达式来表达？
答：我们用上了已知的信息：五分硬币和两分硬币的总数量为个，面值总和为分。于是，我们得到。这是一个二元一次方程，可以直接求解，得到。如果二元一次方程没有学习过，但是学习过一元一次方程，我们可以把看作未知数，则。只要已知则也是已知的。于是我们就剩下一个未知数。注意，这里假设某个未知的量已知然后把其他的量用这个假设已知的量来表示是一个重要的思维方式——代数、未知数和方程的思想。然后，我们就得到了，也就是，整理得到，即。于是，。答案相同。如果完全没有学习过方程，解决这个题需要一些特别的构思技巧。其中一种方法是，假设有40个全是两分的硬币，总面值为分，比实际的面值少了分。因为五分的硬币比两分的硬币每个多出分，所以要用个五分的硬币替换掉个两分的硬币。因此，五分硬币有个，两分硬币有个。类似地，我们也可以反过来思考，假设有40个全是五分的硬币，总面值为分，比实际的面值多了分。因为两分的硬币比五分的硬币每个少出3分，所以要用个两分的硬币替换掉个五分的硬币。因此，五分硬币有个，两分硬币有个。最后，如果你二元一次方程也学习过，这个构造性解题也会了，如果你对比一下二元一次方程的求解过程和这个构造性解题的过程就会发现，其实这里的构造性解题的思路正好就是求解方程的过程。在构造性解题中，假设所有硬币都是五分的（或两分的），相当于将总数量方程乘以五分硬币（或两分硬币）的面值，得到假设下的总面值方程。这一步对应着方程中的等式变换。然后，将假设的总面值与实际的总面值比较，求得差异，这实际是方程组中对应项的消减过程。差异除以每种硬币面值的差，求得硬币的数量，等同于在方程法中解出未知数的值。
第三，Why：为什么我们关注这些对象，为什么这些对象之间有这些关系，为什么这些关系用这样的数学表达式来表达。
答：因为要求出来的是五分硬币和两分硬币的数量，已知的是总的硬币数和总的面值，我们必须建立起来已知（总数量和总面值）和未知（五分硬币和两分硬币的数量）之间的关系。这些关系分别就是数学基本关系“加法和乘法（重复的加法）”所代表的关系。
第四，Meaningful：从这个问题的求解里面我收获了什么？分成四个子问题子步骤。
第一步Validation验算，验算一下问题是否已经解决。 第二步Logic Summary 逻辑梳理，上面的求解方式的逻辑总结。 第三步Reflection反思，上面这个解决问题的逻辑正确吗，还是有漏洞？还有别的求解这个问题的方法吗？ 第四步Lesson Learned总结提炼，从这个问题的求解里面我学会了什么，增加了对什么概念的理解，增加了对什么分析方法和思维方式的理解？
答：以下是我的反思总结提炼收获，
第一步Validation验算：得到了个两分硬币个五分硬币，计算总的硬币数量为个；计算总的面值为分。正确。问题解决了。 第二步Logic Summary 逻辑梳理：如果可以使用方程，这道题就是把文字信息转化为方程，然后求解方程就能解决；如果不能使用方程，则需要采用构造性解题的方式。在这里，构造性解题体现为构造一个过程，使得其中某些变量从不同变成相同。 第三步Reflection反思：以上两个解题思路，逻辑清晰，计算正确，题目信息也被转化为了正确的数学表达式。如果你学习过方程，则两个思路实际上是等价的，这个把某些变量从不同变成相同的过程，刚好就是求解方程二元一次方程的过程。 第四步Lesson Learned总结提炼：通过求解这道题，我们发现，把题目信息转化为正确的数学表达式非常重要。如果允许使用方程，往往做好了这一步转换，就基本完成了一个问题的求解。我们还发现，有的时候需要引入一些题目没有交代的背景性、常识性的事实知识才能解决问题。以后我也可以用WHWM来求解数学题。最后，对于一个有多个求解方法的问题，思考这些求解方法之间的关系，把巧妙的构造性方法还原为计算性、流程性的知识，是一个很有意思也很有价值的过程——未来可能会遇到更多的巧妙的方法，一旦被还原为计算性、流程性知识，则就是对这些巧妙的方法的作用的最大发挥。
周期性跑道相遇问题一
用户：
小明和小红在长度为200米的学校操场上相距50米开始沿着相对的方向跑步。假设他们的速度分别是4米每秒和2米每秒。请问他们什么时候第一次相遇？
闪问：
第零，Trans：尽量把题中的每一句话都用数学表达式来表达。原题中是否有某个词，你需要先明确一下其对应的现象是什么，明确表述一下关于这个现象的事实性知识？
答：“小明和小红在长度为200米的操场上相距50米开始沿着相对的方向跑步”表示他们之间的初始距离是50米，操场的总长度是200米，记作。“小明的速度是4米每秒，小红的速度是2米每秒”表示小明的速度是4米每秒，记作，小红的速度是2米每秒，记作。这里的现象是相向而行的两个人，这里有一个事实性背景知识：两者相向而行的时候，彼此之间的距离是不断减少的。相遇时，彼此之间的距离变为零。
第一、What：这个问题里面有几个对象。这里可以具体到对象的量。这些对象之中哪些是已知的，哪些是要求出来的？
答：这里有操场的总长度（已知，），两者初始的距离（已知，），小明的速度（已知，），小红的速度（已知，）。相遇时间（未知，需要求出，记作）。
第二、How：这些对象之间有什么关系，这些关系用什么样的数学表达式来表达？
答：对于相向而行的问题，我们可以用相对速度来求解。小明和小红的相对速度是。相遇的时间等于两者之间初始距离除以相对速度，即 。
第三，Why：为什么我们关注这些对象，为什么这些对象之间有这些关系，为什么这些关系用这样的数学表达式来表达？
答：因为要求出来的是两人相遇的时间，已知的是两人之间的初始距离和他们各自的速度和，相向而行意味着彼此之间的距离不断减少，直到变为零。因此需要这些对象。相对速度，用加法来表示是因为相向而行时，单位时间内距离减小量等于两个人减少的量相加，两人的速度彼此叠加。相遇时间，用除法来表示是因为关系是“重复多次的减法”，而除法的含义就是重复的减法。
第四，Meaningful：从这个问题的求解里面我收获了什么？分成四个子问题子步骤。
第一步Validation验算，验算一下问题是否已经解决。 第二步Logic Summary逻辑梳理，上面的求解方式的逻辑总结。 第三步Reflection反思，上面这个解决问题的逻辑正确吗，还是有漏洞？还有别的求解这个问题的方法吗？ 第四步Lesson Learned总结提炼，从这个问题的求解里面我学会了什么，增加了对什么概念的理解，增加了对什么分析方法和思维方式的理解？
答：以下是我的反思总结提炼收获，
第一步Validation验算：计算两人相遇时的位置，，。相遇点的位置和为，正好是初始的50米相遇点的总长度。问题解决了。 第二步Logic Summary逻辑梳理：求相向而行的相遇时间，只要知道两者初始的距离和相对速度。相对速度是两者速度的和，相遇时间是初始距离除以相对速度。 第三步Reflection反思：这个逻辑完全正确，没有其他关系和解法。注意，我们已经把相向而行的问题和相对速度联系起来。相对速度是一种简化。 第四步Lesson Learned总结提炼：我更好地理解了相对速度的概念以及相遇问题的求解方法，也知道在解决实际问题中要把场景和数学概念结合。我还学会了用WHWM来求解数学问题。
周期性跑道相遇问题二
用户：
小明和小红在长度为200米的学校操场上相距50米开始沿着相对的方向跑步。假设他们的速度分别是4米每秒和2米每秒。请问他们什么时候第二次相遇？
闪问：
第零，Trans：尽量把题中的每一句话都用数学表达式来表达。原题中是否有某个词，你需要先明确一下其对应的现象是什么，明确表述一下关于这个现象的事实性知识？
答：“操场的长度为200米”表示跑道的周长是；“相距50米开始”表示两人初始距离为50米，记作；“沿着相对的方向跑步”表示两人跑步方向相反；“速度分别是4米每秒和2米每秒”表示小明的速度为，小红的速度是2米每秒，记作；“什么时候第二次相遇”表示我们需要求出第二次相遇的时间。这里的现象是相对方向运动。关于这个现象，我知道：相遇就是两者在同一个位置，时间和速度是位置的函数。
第一，What：这个问题里面有几个对象。具体到对象的量。这些对象中哪些是已知的，哪些是要求出来的？
答：这里有操场跑道的周长（已知，），两者初始的距离（已知，），小明的速度（已知，），小红的速度（已知，）。第二次相遇时间（未知，需要求出，记作）。
第二，How：这些对象之间有什么关系，这些关系用什么样的数学表达式来表达？
答：由于两人沿相反方向运动，所以他们的相对速度为。两人第一次相遇时，走过的总距离等于初始相距的距离加上跑道的长度，即。因此，第二次相遇的时间。
第三，Why：为什么我们关注这些对象，为什么这些对象之间有这些关系，为什么这些关系用这样的数学表达式来表达？
答：
关注这些对象的原因：为了求出相遇的时间，我们需要知道两人的相对速度以及他们之间的初始距离。计算相遇的时间要求我们要知道在相遇之前跑过的总距离。相遇时走过的总距离是初始相距的距离加上跑道的周长。 对象之间有这些关系的原因：相对速度的计算是两者速度之和，因为两人沿相反方向运动，行走的路径相加。 使用这样的数学表达式的原因：相遇时间等于走过的总距离除以相对速度，用除法公式来表示重复的减法过程。总距离的计算用加法，是因为相遇总距离是初始距离和跑道长度的合计。
第四，Meaningful：从这个问题的求解里面我收获了什么？分成四个子问题子步骤。
第一步Validation验算，验算一下问题是否已经解决。 第二步Logic Summary逻辑梳理，上面的求解方式的逻辑总结。 第三步Reflection反思，上面这个解决问题的逻辑正确吗，还是有漏洞？还有别的求解这个问题的方法吗？ 第四步Lesson Learned总结提炼，从这个问题的求解里面我学会了什么，增加了对什么概念的理解，增加了对什么分析方法和思维方式的理解？
答：以下是我的反思总结提炼收获，
第一步Validation验算：第二次相遇时间，小明跑了，小红跑了，合起来的路程是，正好等于一圈加上原来的距离。问题解决了。 第二步Logic Summary逻辑梳理：通过相对速度和总距离的关系，结合初始距离和跑道长度，准确计算相遇时间。 第三步Reflection反思：计算过程合理，结果准确。没有其他解法。或者说，其他解法本质上来说都和现在的方法等同。 第四步Lesson Learned总结提炼：理解了相对速度的概念（相反方向行走速度相加），学会了通过相对速度和总距离来计算相遇时间。熟悉了用加法和除法来表示数学关系。学会了使用WHWM方法来求解数学应用题。
周期性跑道相遇问题三
当问题更复杂的时候，采用代数解法统一处理
用户：
小明和小红在长度为200米的学校操场上相距50米开始沿着相对的方向跑步。假设他们的速度分别是4米每秒和2米每秒。请问他们分别在什么时候第一次和第二次相遇？
闪问：
第零，Trans：尽量把题中的每一句话都用数学表达式来表达。原题中是否有某个词，你需要先明确一下其对应的现象是什么，明确表述一下关于这个现象的事实性知识？
答：“小明和小红在长度为200米的操场上相距50米开始沿着相对的方向跑步”表示操场的周长是，小明和小红起始位置相距。“他们的速度分别是4米每秒和2米每秒”表示小明的速度是，小红的速度是2米每秒，记作。“求他们第一次和第二次相遇的时间”表示需要求出两人第一次和第二次相遇所需的时间。这里的现象是相对方向运动，这里有一个事实性背景知识：相对方向运动的时候，两个物体之间的相对速度是两个物体速度之和（），即每秒钟两者之间的距离会缩短。在一个周期性（操场的周长是）跑道上，快的那个人和慢的那个人之间的位置差为周长的整数倍的时候会相遇，也就是，其中为非负整数。如果跑道不是周期性的，则必须有。这个背景知识和原理是非常重要的，之后在处理各种相遇问题时都可以用到。
第一，What：这个问题里面有几个对象。具体到对象的量。这些对象中哪些是已知的，哪些是要求出来的？
答：操场的周长（已知）：，小明的速度（已知）：，小红的速度（已知）：，两人第一次和第二次相遇的时间（未知，需要求出）：，两人的起始位置（已知）：。
第二，How：这些对象之间有什么关系，这些关系用什么样的数学表达式来表达？
答：相遇问题的基本关系是：两人距离的变化等于相对速度乘以时间，而操场是周期性跑道，因此相遇意味着，其中为非负整数（代表第次相遇）。每一个人的位置和时间速度的关系，，整合起来，我们有：，也就是 。带入各个具体数值，注意到两者速度方向相反所以在数值上是两个速度值相加，得到。于是，我们发现，第一次相遇的时候是，时间是在，第二次相遇的时候是，时间是在。
第三，Why：为什么我们关注这些对象，为什么这些对象之间有这些关系，为什么这些关系用这样的数学表达式来表达？
答：要计算第一次和第二次相遇的时间，我们就要知道两者之间的速度差，已知两者的速度，所以我们关注这些对象。相遇意味着位置重叠，位置重叠的圆形跑道上意味着：。这就是对相遇或者追及这个意思的场景化和数学语言翻译。位置和速度、时间的关系：以同样的速度前进，时刻的位置永远可以写成。这个位置和速度、时间的关系成立的原因：每一个单位时间，这个物体的运动的距离增加，重复了次的加法，于是用乘法表示。再加上原来的位置（合起来数一数，用加法），就得到了新的位置。使用数学表达式描述相遇的原因：在一个圆形（或者说周期性）跑道上，位置重复不仅仅意味着两者的运动距离完全相同，还可以相差周长的整数倍。
第四，Meaningful：从这个问题的求解里面我收获了什么？分成四个子问题子步骤。
第一步Validation验算，验算一下问题是否已经解决。 第二步Logic Summary逻辑梳理，上面的求解方式的逻辑总结。 第三步Reflection反思，上面这个解决问题的逻辑正确吗，还是有漏洞？还有别的求解这个问题的方法吗？ 第四步Lesson Learned总结提炼，从这个问题的求解里面我学会了什么，增加了对什么概念的理解，增加了对什么分析方法和思维方式的理解？
答：以下是我的反思总结提炼收获，
第一步Validation验算：带入，小明的位置为，小红的位置为（注意小红沿着和小明相反的方向跑）。两者刚好在同一位置。带入，小明的位置为，小红的位置为。在一个周长为的跑道上，两者也刚好在同一位置。正确。问题解决了。 第二步Logic Summary逻辑梳理：把相遇表示为两个人的位置关系（这里有周期跑道的问题），把每个人的位置用时间和速度来表示，然后把各自的速度（来自于题目中的直接信息）代入到表达式，就可以通过求解方程来完成这个问题。 第三步Reflection反思：解题方法逻辑清晰，计算正确，题目信息也被转化为了正确的数学表达式。这个方法适用于所有的相遇问题，无论是同向追及还是相对方向运动，直线跑道还是周期性跑道。通过求解这道题，我们可以体会到，运用基本的数学概念和公式来建立数学模型（在这道题里是相遇问题的基本关系和位置与时间速度的关系）是一种非常有效的解题方法。 第四步Lesson Learned总结提炼：通过求解这道题，我们学习到，求解数学问题的关键是把情境转化为数学表达式。在做这一步转化的时候，往往需要理解题目中给出的情景，把这些情景转化为相应的数学表达式。在把题目翻译为数学语言的过程中，把这样的情景和所对应的关键词找出来，明确地表述一下这个情景和词的含义，有助于问题解决。我还发现，用WHWM来求解数学题非常有效。最后，对于一个有多个求解方法的问题，最基本的思路往往是最具有普适性的思路。我们鼓励回到最基本的思路，而不是从仅仅适用于特殊场景的公式来求解问题。
工程合作问题
什么东西真的可以平均或者加总
用户：
两个工程队合作完成一项工程。两者独立做的时候，分别需要两天和四天，请问合起来需要多少天？
闪问：
第零，Trans：尽量把题中的每一句话都用数学表达式来表达。原题中是否有某个词，你需要先明确一下其对应的现象是什么，明确表述一下关于这个现象的事实性知识？
答：“两个工程队合作完成一项工程”表示工程队一和工程队二有合作完成工作的能力。分开来完成的时候，工程队一需要两天，记作；工程队二需要四天，记作。“请问合起来需要多少天？”表示我们需要求出两个工程队合作完成工作的时间。这里还有一个隐含的背景知识：在单位时间内，工程队完成的工作量是一定的。我们可以用两者合作时的单位时间内完成的工作量来计算他们合作所需的时间。
第一、What：这个问题里面有几个对象。这里可以具体到对象的量。这些对象之中哪些是已知的，哪些是要求出来的？
答：这里有工程队一的工作时间（已知，）、工程队二的工作时间（已知，）、合作完成工作的时间（未知，，要求求出）。
第二、How：这些对象之间有什么关系，这些关系用什么样的数学表达式来表达？
答：每一个工程队以及合作的工程队都具有以下的关系：总工程量=工作效率工作时间。为了计算合作时间，我们还需要知道各个工程队的工作效率（单位时间内完成的工作量）：合作的工作效率等于分别工作的工作效率之和。工程队一的工作效率可以表示为（也可以把直接当成单位一），工程队二的工作效率可以表示为，合作时两队的联合工作效率为。因此，两个工程队合作所需的时间为。第一步，分子分母同时乘以；第二步，分子分母同时除以。
第三，Why：为什么我们关注这些对象，为什么这些对象之间有这些关系，为什么这些关系用这样的数学表达式来表达？
答：因为要求求出两个工程队合作完成工作的时间，根据工作时间等于工作量除以工作效率（），我们就要直到合作的工作效率，再根据合作的工作效率等于独立的工作效率之和（），我们需要知道各个工程队各自的工作效率。为什么工作时间用除法来表示？因为除法就是重复的减法，求解完成某项工作的时间，实际上是在不断“减去”完成的工作量，直到完成整个工作。为什么合作的工作效率等于各自的工作效率之和？因为假设两个工程队不会相互阻碍的情况下，两者在同一个单位之间内完成的工作的数量合起来就是合作完成的数量。
第四，Meaningful：从这个问题的求解里面我收获了什么？分成四个子问题子步骤。
第一步Validation验算，验算一下问题是否已经解决。第二步Logic Summary逻辑梳理，上面的求解方式的逻辑总结。第三步Reflection反思，上面这个解决问题的逻辑正确吗，还是有漏洞？还有别的求解这个问题的方法吗？第四步Lesson Learned总结提炼，从这个问题的求解里面我学会了什么，增加了对什么概念的理解，增加了对什么分析方法和思维方式的理解？
答：以下是我的反思总结提炼收获，
第一步Validation验算：计算合作期间工程队一二分别完成的工作量为和，合起来正好把一个工程做完。正确。问题解决了。 第二步Logic Summary逻辑梳理：两个工程队的合作效率是各自效率的和，求出合作效率后，用单位工作量除以联合效率得到所需时间。 第三步Reflection反思：计算过程合理，结果准确，验证正确。没有其他解法。或者说，其他解法本质上来说都和现在的解法等同。 第四步Lesson Learned总结提炼：通过这个问题，我理解了加法和除法的意义：加法可以用来合并工作效率，除法可以用来计算完成时间。学会了如何用WHWM来逐步求解问题。 让我们相约12月28日闪问内测版发布会。
