学最近听了一堂小学三年级的关于“倍”的数学课，或者说三四堂数学课合起来的教研讨论活动。
在我总结复数课堂活动之前，我们先来看看课本是怎么来教“倍”这个概念的。
我们发现，课本在没有介绍“倍”的含义的情况下，直接借助日常语言中的带着“倍”的说法，从具体案例开始的：把白萝卜看看是红萝卜的多少倍，三种颜色的点看看每一种是另一种的多少倍，等等等等。之后，用带着个体的连线图，还有线段图，来表示倍。最后，问了几个几乎是完全重复性的应用题。
这样的处理的问题是，“倍”本身是没有定义和解释的，依靠的仅仅是日常语言中对倍的应用层面的理解。也就是说，整个这部分教材，与其看做是关于“倍的认识”的教学，不如看做是“用数学表达式（乘法和除法算式）来表示倍”这个倍的应用。
实际课堂上，也是如此：先从和教材类似的场景，给出一些东西，问这些东西的数量之间有什么关系，启发学生提出和用算式来表达，直到学生提出来“某个东西的数量是某个东西的数量的多少倍”或者反过来“某个东西的数量的多少倍是某个东西的数量”为止。然后，教会学生用画图的方式——用一个圈把一个东西的数量圈起来，用多个圈把另一个东西的数量圈起来，或者画一条线段以及多条线段。最后，问了几个应用题，例如开心农场里面的不同东西的数量之间的倍数关系。其中一些问题用到了寻找和用笔圈出来关键信息，包含对象、对象关系、问题等；有一些对教材的顺序的突破，例如不是从除法而是先从乘法来讲倍；有一些对教材的拓展（可能也是顺序上的突破——后面的教材应该会讲到），多个倍的和和差的问题。
然后，教学指导教师说，这几堂课体现了模型思维和几何直观。几何直观体现在哪里呢？体现在用线段图来表示具有倍关系的两个数，以及相应的对象。模型思想体现在哪里呢？体现在，具有倍关系的两个对象可以写成，也就是“一个东西的数量*倍数=另一个东西的数量”，未来可以拓展到路程问题的速度和时间的关系上，工程问题的速度和时间的关系上，等等等等。
这个课堂有数学高层知识，或者老师们喜欢叫做数学素养的追求——模型思维和几何直观。这个课堂有对教材的挑战——改动了内容上的一些顺序，增加了和倍差倍先用乘法而不是除法来当倍的例子。这个据说也算是对概念教学概念理解的重视。
但是，这些真的成立吗？首先，这个课堂直接从“倍”的例子，例如“3的5倍是多少”、“白萝卜是红萝卜的多少倍”开始，直接推广到更多的倍的问题更多例子，中间没有解释“倍”本身的含义是什么。这算什么注重概念理解和概念教学？在数学里面，一定要尽可能地从最基本的定义和公理来定义其他的一切，生活用词可以是一个定义的案例和起点，但是绝对不能代替定义。比如说，如果要定义倍，可以定义为，基于乘法和除法的概念，定义为，在整数乘以整数之中，我们把一个数成为另一个数的倍的数量，或者在整数除以整数等于一个整数（可以先定义整除的概念）之中，我们把商称作除数的倍的数量。甚至可以进一步定义约数、倍数的概念。这样就基于乘法或者除法定义了倍。然后，才能进入到检查这个定义是否和日常语言的含义相符，再进一步才是应用。这才是注重概念理解的教学。
其次，通过画线段图来表示倍真的体现了几何直觉吗？画线段图实际上就是倍的符号表示，用任何一个符号都行。而且，基于一会我会讲到的单位一，实际上最好的表示得是中间没有任何小圆圈来表示更小的那个当做单位的数量，直接就画一个圈、方块、任何一个符号，来表示才更好。至于要画成长度相同的线段那就是更加没有意义了。在倍这个问题上，是否精确地用长度来表示那个单位一根本没意义。完全可以画出来两个看起来很像的符号用来表示它们逻辑上相同就可以。因此，这个相等的线段的符号本来就不是倍的最好的表示。当然，你说，通过表示为线段，可以跳过用一个圈把那个当做单位的多个小圈圈圈起来的更复杂的表示，因此用起来更简单，我也同意。但是，问题是，长度在这里不重要，是直线也不重要，就算画完了长度也需要引入那个边界的竖线才能区分出来有几倍。因此，这里的直线和长度都没有意义，只有分隔符号（小竖线）是有意义的。请问这里哪里是几何了，哪里是直观了？而且在数学里面，直观重要吗？数学本来就是把直观变成抽象，然后用抽象来理解更加复杂的对象，你培养直观干什么？
接着，通过把具有倍关系的对象表示为“一个数 * 倍数=另一个数”，真的体现了模型思维或者数学建模吗？数学建模指的是，把数学结构用于表示现实的对象，以及从现实的对象中抽象出来数学结构。比如说，我们发现，路程问题确实根据“重复的加法是乘法”这个乘法的定义，再根据路程的发展过程就是“每个单位时间走过同样的距离，然后多次重复这个加法”，从而得到“路程=速度 * 时间”。这确实勉强可以算数学建模——把路程这个实际问题转换成了一个具有乘法关系的数学表达式。问题是，你这里的“一个数 * 倍数=另一个数”是吗？如果非得说，这也可以对应着实际对象，那还不如说，这里用了乘法的含义呢。真正的数学建模要深刻的多，比如说，为什么用数（线段长度）表示路程，为什么用矢量来表述位置和位移，为什么用波函数来描述量子系统的状态，这些是数学建模。以矢量和位移为例，因为不同时刻的位移之间的关系正好就是矢量加法的关系，以及同一个时间段内的位移可以看做多个不同的位移的矢量的叠加，背后也满足矢量加法。这是数学建模。因此，这里宣称，用了模型思维、做了数学建模，完全就是用了高大上的词，自己都不清楚含义的词，企图使得自己的课堂看起来更加高大上，但是全都是空的。
如果这里一定要扯数学建模，还不如把数学建模在这里退化一下，落地为“用数学表达式来描述现实”，于是，对于任何一个具有倍关系的对象，就可以写成“一个对象的数量 * 倍数=另一个对象的数量”。
追求空洞的高大上，是要不得的。用一个词，非得去找一个人家怎么说是什么含义，而不是你自己能够说清楚是什么含义，也是要不得的。当有人质疑你这个词用得不对的时候，你说，这就是别人用的含义，跟你自己无关，是更加要不得的。Own your words and own your meaning，拥有你说的每一个词每一个意思。任何一个词，只要从你自己的嘴里出来，则你就得保证你能够把这个词的含义说清楚，并且这个含义和你用在这里的场合是自洽的。
那如果我来教“倍”怎么教？第一，它不值得教。但是，我仍然会给出来一个明确的定义，来检验这个定义是否和日常生活中倍的含义是否相一致。比如，我就通过前面提到的从乘法或者除法来定义倍这个词的数学含义。第二，一定要把倍当做一个重要概念来教，那我会先定义一个单位一。单位一就是其本身不一定是一，但是，我们在处理的时候把它当做一。例如，一双袜子，其实是把两只袜子当做一。一打鸡蛋其实是把十二个鸡蛋当做单位一。当我们把任意的数量的某个对象当做单位一，然后我们再用这个单位一来衡量其他对象的数量的时候，就出现了倍。
关键的关键，还是有没有一切都从帮助学生成长来考虑教和学什么、如何教和学。如果是，就会发现，这些看起来高大上的东西要么是空的不能落实，要么是没有意义的不值得学。反而，“数学是描述现实的语言”倒是很值得学习的，而不是数学计算，反而“数学学习中一定要明确定义概念”倒是很值得学习的，而不是直接沿用日常生活中的模糊的词。
当然，实际课堂中老师们用到了WHWM中的WHW，这个还是很好的。这里不谈。
相比于我见到的大多数其他课堂，这个课堂有对高层知识的追求，有对概念理解的关注，有对教材的突破，尽管基本上都是空的，已经远远好很多很多了，至少没有仅仅关注数学计算。
