文献阅读荟-No.269-股票指数波动率预测：通过加权波动率测度与加权波动率指标相结合，改进GARCH型模型

本文深入探讨了金融模型中波动率的关键作用，指出波动率虽不可直接观测，但通过发展不同类型的波动率度量和模型，能有效模拟和预测资产回报的动态波动性。论文回顾了包括ARCH、GARCH、EGARCH和GJRGARCH在内的经典波动率模型，并讨论了直接估计波动率的方法，如基于收盘价的平方回报和基于价格范围的度量。此外，论文还提出了将这些度量方法作为外生变量纳入GARCH模型以提高预测精度的策略，并强调了结合不同模型预测和信息集合以优化波动率预测的重要性。

其中At表示时间t的资产收盘价，基于范围的波动率度量可以直接用来估计波动率，这些度量比 CC 度量更有效，Parkinson(1980)通过假设式中的漂移项为零，提出了PK测度，在保持零漂移假设的同时，Garman 和 Klass (1980) 通过使用开盘价和收盘价以及最高和最低价来改进 PK 度量。CC、PK、GK 和 RS 波动率度量都属于收益率条件方差 𝜎 的无偏估计量。

3.2 结合加权波动率度量和加权波动率指标

无偏的结合加权（CW）波动率度量是基于加权的回报和基于范围的波动率度量的组合而形成的。CW度量的主要特点是它结合了价格间的信息和价格内的信息，在其中基于回报的CC度量使用当前和前一收盘价，而基于范围的度量则利用当前价格波动的高频数据。无偏的CW度量定义为

其中σ²k，t分别是在时间t基于回报和基于范围的波动率度量的有条件方差。在本研究中，我们考虑CC作为基于回报的波动率度量的代表，PK、GK和RS作为基于范围的波动率度量的代表。

3.3 收益模型

回报rt可以通过以下模型进行建模：

其中μt是时间t的回报的条件均值，at是创新的部分。

3.4 波动率模型

为了对回报的条件方差进行建模，本文考虑 GARCH 类型模型，本文的重点放在不同波动率度量和 GARCH 型模型的影响上，而不是选择收益模型的分布。因此，选择重尾Student-t分布作为收益分布，该分布具有封闭形式的分布函数，可用于推导风险度量VaR和ES。

本文研究了五个主要指数，这些指数可以代表美国（USA）和欧洲经济，即德国DAX指数、道琼斯工业平均指数（DJIA）、标准普尔500指数（S&P500）、欧洲斯托克50指数（STOXX50）和瑞士市场指数（SMI）。从Yahoo Finance网站检索了这五个股票指数的历史日开盘、最高、最低和收盘价，以及安徒生、博尔斯利夫、迪博尔德和埃本斯（2001年）从牛津大学量化金融研究所提供的5分钟实现波动率（RV5）。RV5是由5分钟日内回报的平方和计算得出，并且所有数据都通过乘以 10的4次方进行了重新缩放。具体来说，我们使用了从2008年10月20日至2016年9月7日的前2000个数据点进行样本内模型拟合，以及从2016年9月8日至2020年8月31日的最后1000个数据点进行预测。我们保留了2008年9月18日至2008年10月19日之间的数据点，总共有23个，固定m = 23 。

为了检验波动率度量方法对DAX、DJIA、S&P500、STOXX50和SMI的适用性，我们测试了七种波动率度量方法。这些度量方法包括CC（基于收盘价的平方回报）、PK（Parkinson方法）、GK（Garman和Klass方法）、RS（Rogers和Satchell方法）、CW(PK)（结合CC和PK的加权度量）、CW(GK)（结合CC和GK的加权度量）和CW(RS)（结合CC和RS的加权度量），所有这些度量值都通过乘以10^4进行了重新缩放。从今以后，CW度量将表示为CC与任何基于范围的度量X结合的形式，记为CW(X)。

表1报告了从2008年10月20日到2016年9月7日，这七种波动率度量方法对DAX、DJIA、S&P500、STOXX50和SMI的估计性能评估。这些波动率度量方法是通过与RV5度量（作为波动率代理）进行比较，并使用均方根误差（RMSE）和准似然（QLIKE）进行评估的。从表1可见，在所有五个股票指数中，基于范围的度量方法优于CC度量方法。特别是，CW(GK)度量在基于RMSE和QLIKE的损失上，优于其他所有度量方法。然而，对于STOXX50，CW(RS)度量方法略好一些，在DJIA中，PK度量方法在QLIKE损失下表现最佳。这些结果表明，结合了回报和基于范围的GK度量信息的CW(GK)度量，提供了对未观察到的“真实”波动率更准确的估计。有了这些结果，在后面的部分中使用GK和CW(GK)度量作为模型中的主要外生变量。

图1描绘了五个回报序列的直方图、时间序列和自相关图。时间序列图突出显示了波动率聚集现象，即小回报倾向于被小回报跟随，大回报倾向于被大回报跟随。直方图支持了近似厚尾分布，自相关图揭示了回报序列是微弱持久的。值得注意的是，2008年、2011-2012年以及2015-2016年期间，这些序列特别不稳定。2008年的金融危机起初是由2007年的次贷危机引发的，随后2008年9月投资银行雷曼兄弟的倒闭迅速演变成了全球性的金融危机。该时期包括了2011年8月因担心西班牙和希腊的欧洲主权债务危机蔓延而出现的股价大幅下跌。此外，希腊债务违约以及中国国内生产总值增长放缓的消息，从2015年6月到2016年6月引发了波动率的飙升。

本文考虑的模型都是(1,1)和(1,1,1)阶，误差遵循标准化的Student-𝑡分布。包括LL和AIC在内的几个信息标准被用来评估模型的充分性。表3报告了这些模型的参数估计、估计的标准误差、LL和AIC值。分析表明，GARCH-CW(GK)和GARCH- CW(GK)-WVI模型比GARCH模型具有更好的样本内拟合，表现为更高的LL值和更低的AIC值。这表明在模型中加入组合加权度量的好处。使用EGARCH模型可以进一步增强样本内拟合。同样，样本内结果表明EGARCH模型优于GARCH模型。通过在EGARCH模型中结合CW测度和WVI，即EGARCH-CW(GK)和EGARCH-CW(GK)-WVI模型在建模性能方面似乎优于其他模型。这再次突出了包括CW测量和WVI的重要性。

表4报告了基于五种损失函数的预测误差结果。包含外生变量的模型在基于这五种损失函数的样本外预测中，比GARCH和EGARCH模型提供了更好的预测结果。由于不同的损失函数在选择最佳预测模型时具有不同的含义，采用了平均排名（Santos, Candido, & Tófoli, 2022）来衡量多个损失函数的整体预测性能。研究结果表明，EGARCH-CW(GK)-WVI模型在DAX、STOXX50和SMI的平均排名中始终获得最高排名。同时，GARCH-CW(GK)-WVI模型似乎提高了预测性能，在DJIA和S&P500指数中排名前两位。这再次突显了将CW度量和WVI单独和联合作为模型中的外生变量所带来的好处。

图2展示了GARCH型模型进行样本外预测的完整预测序列。相比之下，图3提供了三个竞争模型相对于RV5的真实代理的各自波动率预测的快照。快照时间范围涵盖2020年2月21日至2020年4月3日，捕捉了Covid-19大流行高峰期间经历的高波动性。有趣的是，GARCH-CW(GK)-WVI和EGARCH-CW(GK)-WVI模型显示出在Covid-19爆发期间的波动率高峰时段适应的能力，在DJIA、S&P500、STOXX50和SMI指数中表现如此。另一方面，EGARCH-CW(GK)-WVI模型在DAX指数中的预测略高。