论文：已实现半贝塔β：区分“好”和“坏”下行风险
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https://doi.org/10.1016/j.jfineco.2021.05.056
1 摘要
我们提出了一种新的分解方法，将传统的市场贝塔系数分解为四个半贝塔系数，这四个半贝塔系数取决于市场与单个资产回报之间的符号协方差。我们的研究表明，源于负市场和负资产收益率协方差的半贝塔预测的未来收益率显著较高，而源于负市场和正资产收益率协方差的半贝塔预测的未来收益率显著较低。与正市场回报变化相关的两个半贝塔似乎没有定价。结果与均值-半方差框架的定价含义一致，套利风险在多头和空头头寸的风险溢价之间形成楔形。我们的结论是，与其押注于传统的市场贝塔，不如押注 "正确的 "半贝塔。
2 方法
令 表示资产 i 在某个固定时间段 t 内的第 k 个时间间隔的 "高频 "回报率，同时用
表示市场组合的 "高频 "回报率。为了固定思路，并与下文讨论的两个独立的实证分析相一致，可将 k 视为一天，t 视为一个月，或将 k 视为 15 分钟的时间间隔，t 视为一天。用
和
定义有符号限制的时期内资产收益率，有符号限制的时期内市场收益率的定义与此类似。已实现半贝塔的定义如下：
其中 m 表示每个时间段内高频回报间隔的数量。半贝塔系数对传统的已实现市场贝塔系数进行了精确的四向分解：
我们特意改变了两个混合半贝塔的符号，使其为正，从而更容易解释相应分解的风险溢价估计值。
令 RVt 和 COVt,i 分别表示 t 期市场收益率波动以及市场收益率与单个资产 i 的收益率的协方差，相应的真实半协方差度量分别用表示。Barndorff-Nielsen和Shephard（2004）表明，对于越精细的采样，或m→∞，已实现的贝塔值一致地估计真实的潜在贝塔值：
同样，Bollerslev 等人（2020）中关于已实现半方差的渐近理论也意味着已实现半方差可以一致地估计真实半方差：
为了便于表示，在其余部分中，当没有必要时，我们去掉下标和帽子。如果市场和单个资产收益率是联合正态分布的，那么这四个半贝塔值将不会比传统的市场贝塔值传递更多的新信息。特别是，在联合正态分布条件下：
然而，如果市场和单个资产回报不是正态分布的，那么两个一致的半贝塔（和
）和两个不一致的半贝塔（
和
）通常会不同，并且四个半贝塔中每一个都可能传达比市场传统的贝塔β更有用的信息。因此，每个半贝塔β也可以不同地定价。
为帮助进一步理解主要观点，图 1 描绘了市场和四种不同示例资产收益的假设二变量等值线图，每种资产的传统 CAPM 贝塔值都等于 1。由于 CAPM 的贝塔值相同，因此 CAPM 预测所有四种资产的预期收益率相同。考虑panel A 中的资产，它与市场呈共同正态分布，而panel B 中的资产收益率（与大多数股票回报相反）在市场下跌时与市场收益率相关性较小，而在市场上涨时相关性较大（）。因为投资者特别厌恶下跌风险，因此愿意接受较低的预期收益率，以获得具有理想依赖结构的资产。另一方面，panel C 中描述的资产在经济下滑时与市场的相关性比经济上升时更强（
）。最后，与资产 C 一样，panel D 中的资产在经济下滑时比经济上升时与市场的相关性更强（
），但其混合半协方差（
）使其相对于资产 C 具有更优越的对冲优势。
与图 1 所传达的直觉以及四种半贝塔中的每一种都可能以不同方式定价的想法所产生的影响相反，在一个无摩擦的金融市场中，与 N 和 M- （P 和 M+）相关的风险应该以相同的方式定价，因为资产的空头头寸只是简单地转换了相应半变量成分的符号。然而，法律限制和章程阻碍了许多机构投资者卖空，许多个人投资者也根本不愿意卖空，这实际上造成了套利限制和套利风险。这种套利风险反过来又在 N 和 M-（P 和 M+）半协方差成分的定价与与 和
（
和
）半贝塔相关的风险溢价之间形成楔形。直观地说，当市场表现不佳时，与市场正相关的资产会加剧收益率的下行变化，而当市场表现不佳时，与市场负相关的资产则有助于降低下行风险。相应地，我们发现前一类资产的风险溢价更高。
为了进一步直观地显示每个贝塔β的差异，图 2 的panel A 描绘了样本中所有日期和股票的无条件分布。正如预期的那样，传统贝塔的分布以 1 为中心，接近对称。同时，已实现的半贝塔在结构上都是弱正值，因此它们的分布是右斜的也就不足为奇了。此外，两个一致半贝特（和
）的非条件分布几乎没有区别，两个不一致半贝特数（
和
）的分布也是如此。
4 半贝塔和预期收益的横截面
我们通过引入标准的 Fama 和 MacBeth（1973 年）式横截面预测回归的结果，对已实现半贝塔所包含的非线性依赖关系的定价问题进行实证研究。这些回归可以方便地同时估算每个半贝塔的单独风险溢价。具体来说，对于每个月 t = 1, ..., T-1，以及所有股票 i = 1, ..., Nt（可用于第 t 和 t+1 个月），我们通过横截面回归估算出不同半贝塔的第 t+1 个月风险溢价 (λs)：
根据这些 T-1 期的横截面估计值，我们用样本中所有月份的时间序列平均值来估计与每个半贝塔相关的平均风险溢价：
由此得出的年化估计值及其基于 Newey-West 稳健标准误差（使用 10 个滞后期）的 t 统计量，以及第一阶段横截面回归的 R2 的时间序列平均值，见表 2 第二行。作为基准，表中第一行报告了传统 CAPM 实现贝塔值的估计风险溢价。与基本的均值-方差框架一致，传统贝塔系数在统计上具有显著的风险溢价，即每年 4.27%。最后一列报告的横截面拟合度从使用标准 CAPM 贝塔值时的 2.33%上升到使用半贝塔值时的 5.16%，这证明了半贝塔值传递了额外的有用信息。如果半贝塔风险溢价满足以下条件，基于半贝塔的定价模型就会还原为传统的 CAPM 模型：
在样本中的 684 个月中，有 46.1%个月份在 5%的水平上拒绝接受这一假设，从而有力地驳斥了传统的单贝塔模型，转而支持利用半贝塔中包含的额外信息的模型。
表 2 第二行报告的风险溢价估计值凸显了均值-方差框架更丰富的定价含义： 和
都与具有统计意义的风险溢价相关，而
和
似乎没有在横截面上定价。与横截面平均值相比，
每增加一个标准差，预期年收益率就会增加 3.80%，而
与横截面平均值相比，每增加一个标准差，预期收益率就会降低 1.14%。
4.1. 标准风险因素和控制变量
文献中提出了大量其他风险因素和公司特征，作为股权回报横截面变化的重要驱动因素。围绕文献中最受关注的一些更突出的变量，我们考虑了规模（ME）、账面市值（BM）、动量（MOM）、回报逆转（REV））、特质波动率（IVOL）、已实现波动率（RV）和非流动性（ILLIQ）。
表 2 第三行报告了横截面回归的平均风险溢价估计值，除了半贝塔外，还包括 ME、BM 和 MOM，模仿了Fama-French-Carhart 四因子（FFC4）模型。与现有文献和最新数据的结果一致，ME 和 MOM 的估计风险溢价都很显著，而 BM 的溢价在常规水平上并不显著。相应地，加入三个额外的风险因子后，平均横截面 R2 从仅基于四个半贝塔的回归的 5.16% 增加到基于半贝塔+FFC 模型的 10.55%。但重要的是，与 和
相关的风险溢价在统计意义上仍然非常显著。
表 2 底行进一步纳入了 REV、RV、IVOL 和 ILLIQ 作为额外的控制指标。这进一步将横截面平均 R2 提高到 13.85%。但同样，加入这些额外的控制因素并没有显著改变 和
高度显著的 t 统计量。更重要的是，
和
的风险溢价估计值也与第二行在不包含任何控制的情况下得到的估计值相似，这突出了半贝塔定价的稳健性。
4.2.套利风险与半贝塔定价
上文讨论的半贝塔风险溢价估计是基于传统的 Fama-MacBeth 横截面回归方法，涉及每只个股多头头寸的收益。然而，根据半贝塔定义，股票 i 多头头寸的等于股票 i 空头头寸的
。因此，在无摩擦市场中，空头头寸的预期收益等于多头头寸预期收益的负值，与
相关的风险溢价应等于与
相关的风险溢价的负值。由于大多数股票都可以相当容易和便宜地借到资金，
和
的显著风险溢价的绝对值差异似乎令人费解。
然而，由于法律限制和章程阻碍了许多机构投资者卖空，而许多个人投资者根本不愿意卖空，这可能会有效地产生套利限制和相关套利风险。这种套利风险反过来可能导致与多头和空头头寸相关的系统性风险定价不同。此外，流动性外逃和随之而来的流动性螺旋式下降可能会进一步加剧这些定价差异。
为了证实这一猜想，我们效仿文献，使用特异波动率（IVOL）作为套利风险的替代指标。直观地说，如果套利者能够中和他们对基准风险的暴露，那么与总波动率相比，IVOL 自然可以被解释为套利风险的衡量指标，IVOL 越高意味着价格修正套利的障碍越大。因此，我们将股票横截面分为高 IVOL 和低 IVOL 两组，并比较每组的风险溢价估计值。为了便于直接检验两个独立IVOL组中的每一个的的假设，我们将（6）中的横截面回归重新参数化为：
这种重新参数化并不会改变回归的拟合。但是，方便的是，它可以基于估计的时间序列平均值构建一个简单的t检验，用于检验风险溢价
和
相同的假设：
对样本中每个月IVOL最低的50%股票实施这些横截面回归和附带的简单t检验，得出的估计值等于3.84，t统计量不显著为1.02。另一方面，与
的不同风险溢价可能归因于套利风险的论点一致，IVOL最高的50%股票的
估计值等于10.98，显著t统计量为2.59。
4.3. 上行和下行贝塔
除了表 2 所列的标准预测变量外，人们还发现其他贝塔分解方法也能改进传统的 CAPM。与本分析最密切相关的是 Ang 等人（2006a）在广为引用的研究中提出的上行和下行贝塔。其中所提倡的贝塔分解的实现版本自然是：
与这里提出的半贝塔相反，半贝塔通过将协方差以符号市场和单个资产回报为条件来解释联合不对称依赖性，上行和下行贝塔仅以市场回报的符号为条件。
为了便于比较，在表3的第一行中，我们重复了表2中半β的基线结果。表3中的第二行报告了与上行和下行贝塔值相关的估计平均风险溢价。结果与Ang等人的发现基本一致。因为只有β-具有显著的风险溢价。结果也与顶行中给出的半贝塔的估计风险溢价一致，该估计表明，只有 和
（解释了负回报市场共同运动）与显著的风险溢价相关。表3中的第三行报告了通过在相同的横截面回归中包括所有六个贝塔而获得的估计值。尽管半β和上行/下行β之间的相关性相对较高，
的估计风险溢价显然是最显著的，t统计量为3.50，其次是
的溢价，t统计量为-2.90。同时，β−的风险溢价的t统计量仅为1.27，这表明半β中包含的信息在解释回报的横截面变化方面有效地包含了下行β中的信息。
协峰度似乎在横截面中定价。在这些研究之后，我们通过以下方法计算股票i的每月实现的协偏度和协峰度：
其中，分别表示t月市场和股票i的平均回报率。
与上述研究一致，表 3 第四行中报告的月度 CSK 和 CKT 度量的估计风险溢价确实都具有统计意义。最下面一行的结果显示，将所有六项指标结合到一个模型中，R2 进一步提高到 6.40%。但重要的是，在包含 CSK 和 CKT 的回归中，与 和
相关的 t 统计量仍然非常显著。
5 押注、反押注和半贝塔
为了帮助更好地评估半贝塔定价的统计意义和经济意义，本节展示了各种半贝塔交易策略的表现。除了“押注”和“反押注
”的投资组合外，我们还考虑了由“押注
”和“反押注
”投资组合的等权重组合组成的组合半贝塔策略。为了最准确地捕捉半贝塔差别定价背后的固有非线性依赖性，我们故意依赖每日实现的半贝塔。出于比较的目的，我们还包括一个基于传统市场贝塔的多空策略。首先，我们使用高频计量经济学的标准方法（如果是现代方法的话）估计贝塔和半贝塔，详见上文。然后，我们在排名前五分之一的股票中持有价值加权的多头头寸，在排名后五分之一的股票中持有价值加权的空头头寸，每天重新平衡，以获得零成本投资组合。我们采用连续复利而非算术收益率，以方便计算较长持有期的累计投资组合收益率。我们将股票样本限制在标准普尔 500 指数的成分股中，从而明确排除了规模较小且可能难以做空的微型股。我们使用 Fama and French (1993) 和 Carhart (1997) 的流行四因子模型（FFC4）以及 Fama and French (2015) 的五因子模型（FF5）来评估投资组合的风险调整后表现。
表 7 顶部panel报告了多空投资组合的平均收益、标准差和年化夏普比率。后两列显示，半β投资组合的和
两部分都有助于提高其卓越表现：
投资组合的回报率远高于标准 β 投资组合，波动率与之相当，而
投资组合的回报率与之相近，波动率却低得多。表 7 下panel报告了不同投资组合的 FFC4 和 FF5 标度和因子载荷的估计值。根据 FF5 因子模型，传统贝塔策略产生的年化阿尔法值为 3.94%，t 统计量为 1.98。根据 FFC4 因子模型，贝塔策略没有产生显著的阿尔法值。相比之下，根据 FFC4 和 FF5 因子模型，半β策略及其两个相关成分股都能产生较大且显著的阿尔法值。年化阿尔法值介于 5.68% 到 8.59% 之间，相应的 t 统计量介于 3.31 到 6.49 之间。当然，在考虑交易成本后，这些阿尔法值会有所降低，我们将在下文对此进行更详细的分析。
5.1. 对比中的投资
为了强调半贝塔组合的优越性，表8报告了构建的上行和下行beta以及协峰度和协峰度组合的结果。我们考虑价值加权的多空头寸，这些头寸基于押注 β-、反押注 β+、反押注 CSK 和押注 CKT 的股票的最高和最低五分位数。在考虑上述半贝塔投资组合的同时，我们还考虑了两对投资组合的等权组合，在表中分别表示为 "β- - β+"和 "CKT - CSK"。表8的上panel显示，只有β-投资组合的夏普比率超过了传统的β排序投资组合。然而，β-投资组合的夏普比率为0.49，仍然大大低于表7中所有基于半β的策略的夏普比率。表8中的下panel进一步显示了CSK和CKT组合的FFC4和FF5 α都很小并且在统计学上不显著。对于FFC4和FF5因子模型，只有β-投资组合分别获得了4.15%和5.64%的显著α。正如人们所料，β-投资组合的估计风险敞口与表7中报告的半β投资组合的估计风险敞口相当相似。然而，尽管风险状况存在这些相似性，但组合半β投资组合的年化FFC4和FF5 alpha都比β−投资组合的alpha更大且更显着，再次凸显了押注和反押注半β策略的卓越表现。
5.2.交易成本
交易成本上述与各种押注（半）贝塔策略的盈利能力相关的分析没有考虑实际实施投资组合头寸的成本。这种成本在实践中显然很重要。因此，在本节中，我们明确考虑交易成本的影响。为了更好地复制不 "过度交易 "的实践，我们将重点放在每月再平衡的半β投资组合上。我们假设交易成本与投资组合的周转率成正比，投资组合的周转率简单地计算为投资组合多头和空头的周转率之和。为了提供一个符合实际经验的上限，我们将样本中所有标普 500 指数股票的回转交易成本简单地定为 0.5%。
我们遵循Garleanu和Pedersen（2013）的简单实现思想，即每个时期仅部分调整投资组合权重。具体来说，设表示第 t 个月（完全调整后的）半贝塔投资组合权重向量：
其中标量参数 0 < λ < 1 控制调整速度。我们简单地设定 λ = 0.95，并通过设定来初始化权重。
表 11 总结了经过部分调整的半β投资组合的绩效。为便于比较，最左侧的两列是使用完全调整后的投资组合权重得出的结果，不含交易成本。第二组列显示的是有交易成本的结果。如其所示，这样做严重影响了半贝塔策略的表现，导致显著的负阿尔法值。为了消除 "过多交易 "带来的不利影响，最后两列列出了部分调整投资组合的结果，包括有交易成本和无交易成本。有趣的是，即使在没有交易成本的情况下，部分调整投资组合权重也能略微提高业绩。与第一组列中的数字相比，平均收益率略有提高，而波动率略有降低，导致夏普比率从 0.42 提高到 0.51。同样，对于基于部分调整权重的投资组合来说，阿尔法值也更加显著。换句话说，只在达到目标的过程中进行部分交易，不仅能降低周转率，似乎还能减少半贝塔估计值中的 "噪音"，从而加强信号，进而使投资组合的整体表现略好。最后一列的结果进一步凸显了部分调整法在交易成本情况下的优势。与不包含交易成本的部分调整投资组合相比，包含交易成本自然会降低平均收益和夏普比率。然而，部分调整投资组合的表现明显优于有交易成本的完全调整投资组合。经部分调整的半贝塔投资组合的 FFC4 和 FF5 均保持正值，且在统计上显著，t 统计量分别为 2.12 和 3.79。
为了直观地显示回报的时间，并更清晰地对比半贝塔策略与传统多空贝塔策略的回报表现，图 3 绘制了两者的累计回报。在这两种情况下，我们都采用了部分调整后的投资组合权重。实线表示忽略交易成本的累计收益。虚线表示包含 0.5% 来回交易成本的收益率。如图所示，半贝塔策略在样本期的大部分时间里表现良好，即使在考虑交易成本后，样本期末的累计收益率也相当高。相比之下，传统贝塔策略在样本期的大部分时间里表现不佳，即使不考虑交易成本，在样本期结束时的累计收益也为负值。
6 结论
我们提出了一种新的加法分解方法，将传统的市场贝塔系数分解为四个半贝塔系数，这四个半贝塔系数由市场与单个资产收益率之间的符号协方差确定。与投资者只关心下行风险的假设相一致，我们发现只有与负市场回报变化相关的两个半贝塔被定价。同时，我们强烈反对 和
的风险溢价是相同的，这也是传统的下行贝塔模型所暗示的。我们将这一差异归因于套利风险在多头与空头头寸补偿之间造成的楔差。我们采用不同的取样频率、预测期限和一系列额外的控制措施，进行了多种推测和实证分析，结果表明，
的风险溢价大约是
的两倍，接近传统市场 β 风险溢价的三倍。我们还进一步证实，押注于
和反押注
的简单交易策略所带来的夏普比率是市场的两倍多。考虑到交易成本，这些多空半贝塔策略仍能产生经济上巨大的、统计上显著的风险调整后阿尔法值。总之：不要押注于或反押注贝塔值，而是押注于或反对押注"正确的 "半贝塔。
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