文献阅读荟-No.271-基于盈亏平衡波动率的期权定价研究

2024-08-14 10:00   广东  

论文:基于盈亏平衡波动率的期权定价研究

Hull B, Li A, Qiao X. Option pricing via breakeven volatility[J]. Financial Analysts Journal, 2023, 79(1): 99-119.

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https://doi.org/10.1080/0015198X.2022.2100234


01 引言

尽管期权定价文献中包含大量的模型,但这些方法往往基于一个想法:期权的价值等于具有相同最终支付的复制组合的价值(Merton 1973)。最自然的实现方式是利用历史数据从大量复制组合中建立分布,然后用以定价其他期权,然而这种复制非常耗时且存在波动率预测不准确或对冲误差的问题,因此大多数研究人员选择其他更结构化的方法。在过去20年中,计算能力迅速增长,期权数据库也变得更加全面,使得能够克服上述限制,本文构建期权的盈亏平衡波动率(BEV)反映期权公允价值的度量,并建立了一个两阶段预测模型,将期权特征与BEV关联起来。最后通过基于BEV预测的模拟交易策略,展示此方法的经济价值。


02 计算BEV

2.1 数据

本文从SpiderRock获取标普500指数期权价格、隐含波动率和delta值,用于预测BEV的特征变量来自SpiderRock和Bloomberg,行权价格、到期时间、隐含波动率以及其他与标的资产相关的信息来自SpiderRock,VIX指数、VIX波动率则来自Bloomberg,样本时间范围为2013年1月至2020年11月。

2.2 BEV的计算

BEV是使得delta对冲期权组合的盈亏为零的波动率值。以计算看涨期权的BEV为例,delta对冲组合的盈亏计算如下: 其中,  是期权到期时的收益,  是建立头寸时的期权价格,  是  时刻的期权delta,  是  时刻的标的资产价格。delta对冲期权的盈亏依赖于标的资产的波动率,delta值使用SpiderRock数据(由CRR模型计算)。BEV是使得  为零的波动率值。按如下方式计算BEV:  期权在时间  的价值取为市场价值,本文从期权距离到期还有五天开始计算,将此时刻作为上述表达式中的  。对于前一天,即时间  ,计算使得该日delta对冲头寸的盈亏为零的期权公允价值,使用Black-Scholes(1973)模型将期权的公允价值转换为波动率值。以此类推,直到到期时间达到74个交易日,这样可以构建BEV期限结构。类似的还可以使用看跌期权计算BEV。 
2.3 BEV描述性统计
表1展示了BEV的汇总统计数据。平均而言,BEV比隐含波动率低1.8%。两者差值的标准差为9.8%。BEV通常低于隐含波动率,这从负的百分位数值(直到第75百分位数)可以看出,这反映了在样本中许多期权的交易价格高于其公允价值。
通过将delta对冲的盈亏设置为零,BEV是一种使每个期权的方差风险溢价(VRP)为零的度量方式。BEV的计算比已实现波动率估计更为灵活,因为可以为到期时间相同但行权价格不同的期权保留不同的波动率值,提供了更丰富的实际分布信息。

03 预测BEV
前一部分使用历史数据构建了一个包含近40万条不同价外程度和到期时间期权的BEV数据库,但其计算需要未来信息,因此不能实时计算。为了实时计算期权的公允价值,需要一个模型来建立期权当前可观察特征与其BEV之间的联系。为此,本文建立了一个用于预测BEV的模型。
3.1 波动率预测因子
本文还包括了上述变量的一些变换。lsk2是lsk的平方值,ImpliedVol2等于ImpliedVol的平方。RR2和RR3分别是RR的平方值和立方值,这些方法试图通过立方样条捕捉波动率曲面的曲率。vega2是vega的平方值。
图1提供了变量两两之间的相关性。大多数变量与其他变量的相关性较弱,但本文将多种波动率测量指标作为预测变量(包括VIX、ATM.IV和rv),正如预期这些变量之间高度相关。为了限制多重共线性,本文通过Gram-Schmidt处理来减少这些预测变量之间的相关性,对VIX和ATM.IV进行普通最小二乘回归,然后将回归残差VIX.res作为新的预测变量代替VIX。对rv进行相同的处理,以获得rv.res。
3.2 模型构建
预测目标是期权  的BEV,记作  ,其中  是行使价格,  是到期时间。简化符号,将目标变量和预测变量分别记作  和  。BEV值大于0,且显示出显著的的右偏,因此第一阶段将目标变量BEV转换为对数形式,得到近似正态分布,模型为以对数化的BEV作为目标变量的线性回归: 然而,本文目标是找到对BEV期望值  的最佳预测,不能仅仅对上式中的预测值取指数,因为由Jensen不等式可得  。相比于Duan(1983)中调整方法,本文使用一种更一般的监督方法(第二阶段回归)来估计调整因子: 其中,  是第一阶段回归预测值。上式在没有截距的情况下进行估计,遵循Duan(1983)中推导的常数倍关系。
结合两阶段,以下表达式将预测变量与BEV联系起来: 3.3 模型表现
在图2中绘制了实际值和预测值的密度图。在第一阶段回归中,预测值在分布的中间部分与目标值较为匹配,但在尾部则有所偏离。模型的预测能力在BEV介于5%和50%之间时似乎最强。在第二阶段回归中,第一阶段回归结果类似,两种分布的中心大部分重叠,模型预测在左尾部遇到最大的困难,尤其是在BEV<5%的情况下。

04 波动率套利
在前一节中建立了用于预测BEV的模型,该波动率代表了一个不包含任何风险溢价的期权的公允价值。市场价格中的隐含波动率包含了市场参与者的风险偏好,因此包含了风险溢价。如果预测模型能够准确预测BEV,就有可能将隐含波动率与BEV之间的差异转化为交易利润。投资者可以对多个期权进行BEV预测,并将其预测结果与隐含波动率进行比较。如果一个期权BEV预测值和隐含波动率不同,投资者可以根据预测差异进行交易以获取正期望收益。如果隐含波动率低于BEV预测值,则投资者可以建立一个delta对冲多头头寸。相反,如果隐含波动率高于BEV预测值,则投资者可以建立一个delta对冲空头头寸。
4.1 模拟交易策略构建
本文使用2013年1月到2014年12月的初始训练期来拟合模型,固定模型参数,并在2015年全年预测BEV,然后在2015年末使用2013年至2015年的所有数据重新拟合模型。随后使用更新后的模型参数进行新的预测。每年模型都使用扩展窗口进行重新拟合。这些预测只使用预测时可用的信息,因此可以实时进行。最终的预测集从2015年1月到2020年11月。
从2015年1月开始,每个交易日扫描所有可用的价外期权(OTM),期权的到期限制在5到74天之间,并确定那些预测利润剩余大于$1的期权。利润剩余计算为盈亏平衡美元价值与买卖价差之间的中点的差值。对于某个特定的期权,如果盈亏平衡价格低于中间价格,卖出单位合约;如果盈亏平衡价格高于中间价格,购买单位合约。所有交易都进行delta对冲,并持有到距离到期还有五天时平仓。组合收益通过将每日的盈亏总和除以合约的总名义价值来计算。
本文将模型的样本外预测表现与历史均值进行比较。本文使用均方预测误差  来评估波动率预测,样本外  计算为  ,其中  采用预测模型估计,  采用历史平均值估计。
4.2 模拟结果
在模拟交易策略中,预测模型提供了BEV的样本外预测。  为0.71,这表明BEV预测模型显著优于仅基于历史平均的估计值,表2展示了BEV预测的混淆矩阵。
样本外预测覆盖6783个观察值。其中,3002个样本真阳性——模型预测值表明的空头头寸与实际BEV所表明的空头头寸匹配,2314个样本真阴性。
表3中提供了基于BEV的交易策略的绩效摘要。为了进行比较,报告了三种额外的期权策略基准(所有可用期权的delta对冲空头头寸组合;所有看跌期权的delta对冲空头头寸组合;所有看涨期权的delta对冲空头头寸组合),还包括了买入持有标普500指数策略。基于BEV的交易策略年化收益率为6.8%,年化波动率为4.5%,在所有策略中实现了最高的夏普比率。
由于不同策略波动率存在差异,难以比较不同策略之间的收益和回撤。在表3的B表中,将所有期权策略的年化波动率缩放至与标普500指数相等。将所有策略置于相同的尺度上,清晰地展示了投资者可获得的不同投资机会。在年化波动率为13%的情况下,BEV策略的年化收益率为19.6%,最大回撤为9.3%。相比之下,其他期权策略的年化收益率介于8.9%到13.5%之间,最大回撤介于15.7%和20.3%之间,买入并持有的标普500策略最大回撤为19.8%。
保证金和交易成本是影响期权策略收益的重要因素。虽然收益计算在保证金要求方面做了保守的假设,即完全抵押的头寸,但到目前为止,本文并未考虑交易成本。表3的C表中探讨了交易成本对BEV策略的影响。标普500指数期权的最小报价变动为五美分,并假设交易SPX期权的三种交易成本:最小变动值、两倍最小变动值和三倍最小变动值(此交易成本假设是保守的)。
表3的C表显示,如果以比标普500期权中间价低一个最小变动的价格进行交易,则年化收益降低至4.4%,夏普比率降低至0.98,最大回撤上升至4.9%。承担更高的交易成本进一步降低了收益同时增加了最大回撤。除非投资者能够限制其交易成本,否则基于BEV的策略将无法提供有吸引力的风险调整后收益。

05 结论
本文构建了一个非参数期权定价模型,其输出是以BEV衡量的期权公允价值,即设定delta对冲期权的盈亏为零的隐含波动率值。本文计算了标普500指数期权的盈亏平衡波动率,并使用这些历史值构建两阶段回归预测模型。模型的预测结果可以用于制定波动率套利策略,以利用隐含波动率与预测BEV之间的差异。未来有几个有趣的研究方向值得探索。一个扩展是对不同的delta对冲方法进行仔细比较。另一个方向是扩展到个股期权,而不仅限于股指。值得探讨的是,是否可以在不同标的的期权中使用相同的BEV预测模型,以及可能需要进行哪些调整。

讨论时刻:
       本文计算了标普500指数期权的盈亏平衡波动率,并建立了一个波动率预测模型,通过建立期权特征与盈亏平衡波动率之间的联系,提出了一种非参数化的期权定价方法,但是在考虑交易成本后,无法提供有吸引力的风险调整后收益,仍存在优化空间。


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