如图1所示，如果股票和债券在该时期的z分数相同，则单期相关性将等于1。如果它们完全相反，则单期相关性将等于-1。如果它们具有相同的符号但大小不同，则单期相关性将在0和1之间。最后，如果它们具有不同的符号和不同的量级，则单期相关性将在-1和0之间。需要注意的是，尽管这一衡量标准依赖于从所有五年期的全部样本中估计的均值和标准差，但它为我们提供了有关股票和债券在单一五年期内的共同运动的信息。单期相关性与股票和债券收益率时间序列的相关性（即皮尔逊相关性）有精确的数学关系。它等于整个样本中单期相关性的加权平均值，其中的权重等于每期收益的信息量。其中N为样本中的收益期数，而 和 基于在时间 t 结束的股票和债券回报。在这种情况下，信息量被定义为给定时期内股票收益和债券收益的平方 z 分数的平均值。可以发现，当变量的大小较大时，变量之间的协同运动模式更有意义，因为这些观测值更有可能反映事件而不是噪声。接着，本文将再次引用信息量概念，但在具有自变量的线性回归的更广泛背景下。
如果在式(2)中，我们将信息量改写为股票和债券收益的平均 Z 值平方，并用式 (1)代替单期相关性，那么相关性就变成了:
式（3）简化为股票和债券 z 分数在完整样本上的平均乘积，相当于股票和债券收益的全样本协方差除以其全样本标准差的乘积，该式通常用于度量时间序列相关性。 在这一点上，本文已经证明了单期相关性比月收益率的相关性更能代表五年期收益的相关性;它捕捉了股票和债券收益的漂移，而月度收益的相关性则没有。它也优于独立的五年收益率或重叠的五年收益率的相关性，因为它捕捉了股票-债券相关性的时变性质，而全样本相关性则没有。 04 基本预测因子本文认为，长期股票和债券收益率的相关性反映了影响股票和债券收益率逐步漂移的基本因素。我们定义了四个基本预测因子来预测五年期股票和债券收益的相关性，如下:
经济增长（工业生产的同比百分比变化）
通货膨胀（居民消费价格指数的同比百分比变化）
股票和债券的相对收益率（股票的盈利收益率（即市盈率的倒数）的自然对数与10年期国债收益率的自然对数进行比较来衡量的，数据从Robert J. Shiller’s网站获得）
股票和债券收益率的相对波动率（过去五年股票盈利收益率的波动性与10年期国债收益率波动性的自然对数比较来衡量的，数据从the Federal Reserve Bank of St. Louis获得）
之所以选择经济增长和通货膨胀，是因为它们分别是股票和债券收益的关键驱动因素，它们之间的相互作用可能会影响股票与债券的相关性。例如，积极的需求冲击将增加增长和通胀，这可能会导致股票和债券表现的背离。相比之下，1970年代的石油危机等供给侧冲击可能导致通胀上升，但经济增长放缓，这可能会将股票和债券价格推向同一方向。我们还选择股票和债券收益率的相对水平和波动性，因为它们可能会影响投资者对股票与债券的需求。例如，当股票和债券收益率相似时，两种资产都具有相似的吸引力，这意味着股票与债券之间存在正相关性。然而，当股票收益率明显高于债券收益率或风险更大时，我们可能会预期股票与债券之间存在负相关性。 05 模型设定本文将感兴趣的变量定义为随后的五年单期相关性，因为正如本文所讨论的，本文认为投资者更关心股票和债券在整个投资期限内如何共同移动，而不是它们每月如何移动。我们测试了五个模型来预测随后的五年的单期相关性。在所有情况下，我们都使用从1926年1月开始的数据来预测从1930年1月到2018年12月的五年单期相关性，并且我们每年更新预测。在讨论基于回归的模型（下面的模型2到5）之前，本文转换因变量以防止模型预测违反负相关和正相关的界限。首先，我们移动并重新调整单期相关性，使其范围从0到1： 是经过移位和重新缩放的单期相关性，范围从 0 到 1。然后，我们对其进行 probit 变换，使其成为无约束的正态分布。 在式（6）中，y 是移位和重新缩放的相关性 的概率，估计为标准正态分布的累积分布函数与概率 的倒数。进行回归后，我们将生成的预测转换回来，使它们的相关性范围从负到正: 在该方程中， 是从负向正的预测单期相关性， 是移位和重新缩放的相关性的预测概率， 表示标准正态分布的累积分布函数。接着，我们依次讨论5个模型：模型1:简单外推（naïve extrapolation of trailing correlation）。该模型只是推断前五年的月度股票和债券收益率的相关性，以预测下一个五年的单期相关性。这种方法不仅是对股票-债券相关性进行建模的最简单方法，也是迄今为止最常用的方法。模型2:基于滞后相关性的回归（regression on trailing correlation）。在这个模型中，我们将转换后的五年期单期相关性与前一个五年期的月度股票和债券收益的相关性进行回归分析。这种方法与简单外推不同，因为截距和斜率将不同于0和1。模型3:基于基本因子的回归（regression on fundamental factors）。在这个模型中，我们回归了四个基本因子的转换后的五年单期相关性：工业生产、通货膨胀、股票和债券的相对收益率，以及股票和债券收益率的相对波动性。预测变量是在估计单期相关性之前的时期结束时测量的。模型4:基于相关性过滤的基本因子回归（regression on fundamental factors filtered for relevance）。在此模型中，我们使用与模型3相同的预测因子，但我们基于一种称为部分样本回归的技术，过滤历史观测值的相关性。部分样本回归依赖于数学等价。线性回归的预测是因变量过去值的加权平均值的函数，其中权重是过去观测值与自变量的相关性。在这种情况下，相关性具有确切的含义。它是过去观测值与自变量当前值的统计相似性之和，前者是自变量的马氏距离的负值，是过去观测值的信息性之和，后者等于自变量的马氏距离与自变量的平均值的相等。式（8）测量 和 之间的多元相似性。它与 和 之间的多元距离正好相反（负值)其中， 是自变量当前值的向量， 是自变量先前值的向量，符号 ′ 表示矩阵转置， 是 X 的逆协方差矩阵，其中 X 包含所有自变量向量。在其他条件相同的情况下，与当前观测值更相似的自变量先验观测值比相似度较低的先验观测值更相关。然而，并非所有的相似性度量都是一样的。接近其历史平均值的观测值可能更多地是由噪声而不是事件驱动的。因此，这些普通事件的相关性较小。与历史平均值相距甚远的观测值是不寻常的，因此更有可能受到事件的驱动。鉴于这种直觉，本文将先前观测值 的信息量定义为它与平均值 的多变量距离。这种信息性的定义与以前用于计算 Pearson 相关性的定义相同，但我们现在包括协方差矩阵的非对角线元素，因为它们与 X 变量有关，而 X 变量独立于y。 观测值 的相关性等于其相似性和信息量之和 概括地说，相似性等于 的先前观测值与其当前观测值 的马哈拉诺比斯距离的负值。信息量等于 与其历史平均值的马哈拉诺比斯距离。相关性等于相似性和信息性之和。换句话说，与当前时期相似但与历史平均值不同的前期比不相似的前期更相关。一旦我们确定了自变量过去观测值的相关性，我们就可以利用前面提到的等价关系--即线性回归的预测值是因变量过去值的加权平均值的函数，其中的权重是自变量过去观测值的相关性。通过这一等价关系，我们可以利用等下面的式（11）和 （12），从相关观测数据的子集中得出股票与债券相关性的新预测值。模型5：基于基本因子路径的相关性过滤回归(regression on the path of fundamental factors filtered for relevance)。在这个模型中，我们将工业生产和通货膨胀重新定义为路径。我们不再只包含工业生产和通货膨胀的前期值，而是包含了前五个时期的值，以及股票和债券收益率的前期值和股票和债券收益率的相对波动率的前期值。因此，将t+1期的五年单周期相关性与t期、t-1期、t-2期、t-3期和t-4期的工业生产和通货膨胀率、t期的股票和债券相对收益率以及股票和债券收益率的相对波动率进行回归。此外，与模型4一样，我们对历史观测数据的相关性进行了过滤。
