文献阅读荟-No.264-时序动量和截面动量的最优配置

2024-07-20 10:00 广东

论文：时序动量和截面动量的最优配置

Schmid O, Wirth P. Optimal Allocation to Time-Series and Cross-Sectional Momentum[J]. Journal of Portfolio Management, 2021, 47(4): 160-179.

下载地址：

https://doi.org/10.3905/jpm.2021.1.213

01 引言

学界大量文献支持收益具有持续性的观点，即表明过去的收益可以帮助预测未来的收益。Jegadeesh和Titman(1993, 2001)的开创性论文表明，基于过去收益构建的多空股票投资组合会产生无法通过标准资本资产定价模型解释的超额收益。随后，大量论文确认这一结果并将分析扩展到其他资产类别，研究发现其他资产也存在一致的动量溢价现象。业界很早就认识到过去收益的预测能力，然而实践中通常采用时序动量，而不是通过分析资产收益截面相对表现。Hurst、Ooi和Pedersen(2013)认为，绝对趋势跟踪策略解释了CTA策略基金的收益。全球投资管理公司AQR的Moskowitz、等(2012)引入“时序动量因子”，并记录此类策略的盈利能力。Moskowitz等(2012)分解时序动量和截面动量的驱动因素，结果显示虽然这两者的主要驱动因素都是自协方差，而时序动量无法完全被截面动量所捕捉。一些研究尝试将时序动量和截面动量结合起来。Clare等(2013)得出结论，相比仅应用截面规则，结合截面和时序规则可以显著提高表现，然而这些研究受到数据窥探问题的影响。

本文的贡献在于推导出在趋势跟踪策略中截面动量和时序动量的事前最优组合，展示在某些一般条件下，最优权重仅依赖于两个输入：信号向量和资产之间的协方差矩阵。本文构建了一种趋势跟踪策略，根据当前市场状况不断重新调整风险配置，实证研究分析这种动态策略的表现，结果显示与纯时序或截面策略相比，这种策略显著优越。

02 直观分析

趋势跟踪意味着基于资产过去表现构建投资组合，可以从时序或截面角度进行。绝大多数研究使用动量的相对定义，即做多（做空）那些在某个时期内相对表现较好（较差）的资产。例如，Jegadeesh和Titman(1993)根据期间表现对样本中的所有股票进行排名，并构建一个多空投资组合。本文对相对趋势的定义稍有不同。首先，因为考虑跨不同资产类别的动量，本文对资产历史表现进行风险调整。其次，不构建五分位投资组合，而是分别分析资产池中的每一对资产。本文基于（每对）资产组构建一个多空投资组合，并在此工具上计算一个趋势信号。截面动量与时序动量非常相似，唯一的区别是截面方法中的信号是基于

\frac{N(N-1)}{2}

组资产计算的，而不是像时序方法那样基于

N

个资产。

直观地看，当所有资产都具有相似趋势时，绝对趋势跟踪方法在市场中取得更优结果（图1左），在这种情况下截面动量由于噪音交易而会亏损。同样，当资产之间的相关性非常高时，采用相对趋势跟踪方法会更优（图1右）。

相对趋势跟踪方法也可以被视为对冲一个共同风险因子的方式。任何资产对的风险可以分解为一个共同部分和一个特定部分。相对方法可以中性化这个共同风险因子，从而牺牲与之相关的收益，以换取降低波动性的好处。因此，当共同风险因子没有趋势时，截面动量策略更有效。

03 理论分析

动量策略的基本假设是，趋势信号在预测未来收益方面具有预测能力。设

s_{j,t}\\

为时间

t

计算的资产

j\\

的趋势信号。假设该信号等于资产

j\\

的预期风险调整收益

E[rr_{j,t+1}]

。事前最优的趋势配置问题转化为在一定风险水平下，最大化趋势强度（即投资组合的预期收益）的投资组合。

在接下来的分析中，考虑两个资产

i\\

和

j\\

，对数收益率表示为

rr_{i,t}

和

rr_{j,t}

。这两个资产之间的相关矩阵由下式给出：

\rho_t = \begin{pmatrix} 1 & \rho_{ij,t} \\ \rho_{ij,t} & 1 \end{pmatrix}

资本分配权重设为，在两资产情形下，投资组合的收益和波动率则简单地表示为：

\begin{align*} &r_t = w_{ij, 1}\cdot rr_{i, t} + w_{ij, 2}\cdot rr_{j, t} \\ &\sigma(r_t) = \sqrt{w_{ij}^T\rho_tw_{ij}} \end{align*}\\

组合的预期收益由以下公式给出：

\begin{align*} E[r_{t+1}] &= w_{ij, 1} \cdot E[rr_{i, t+1}] + w_{ij, 2}\cdot E[rr_{j, t+1}] \\ &= w_{ij, 1} \cdot s_{i, t} + w_{ij, 2}\cdot s_{j, t} \end{align*}\\

趋势信号的最优资本配置转化为以下优化问题（风险目标是任意的，此处设为1）：

\begin{align*} &\max _{w_{ij, 1}, w_{ij, 2}} w_{ij, 1} \cdot s_{i, t} + w_{ij, 2} \cdot s_{j, t}\\ &s.t. \ w_{ij}^T\rho_t w_{ij, 1} \leq 1 \end{align*}

资产

i

和

j

的最优权重由以下公式给出：

\begin{align*} W_{ij,1} &= \frac{s_{i,t} - \rho_{ij,t} \cdot s_{j,t}}{\sqrt{(1 - \rho_{ij,t}^2) \cdot (s_{i,t}^2 - 2 \cdot \rho_{ij,t} \cdot s_{i,t} \cdot s_{j,t} + s_{j,t}^2)}}\\ W_{ij,2} &= \frac{s_{j,t} - \rho_{ij,t} \cdot s_{i,t}}{\sqrt{(1 - \rho_{ij,t}^2) \cdot (s_{i,t}^2 - 2 \cdot \rho_{ij,t} \cdot s_{i,t} \cdot s_{j,t} + s_{j,t}^2)}} \end{align*}

当资产不相关时

\rho_{ij,t} = 0

，风险分配的比例等于信号强度的比例。这等效于一种纯绝对趋势方法，其中分配与（并且仅由）趋势信号成比例确定。当资产高度（正向或负向）相关（

\rho_{ij,t} \rightarrow \pm 1

）时，最优配置越趋向于对冲交易，即每个资产分配相等的风险资本。

04 实证分析

本文通过历史模拟来测试动态分配给绝对趋势和相对趋势的事前最优性是否在事后表现中有效体现出优越性，比较三种趋势跟踪策略：绝对趋势策略、相对趋势策略；动态趋势策略（绝对趋势和相对趋势的最优配置），此外，本文还报告了一个常数混合（静态配置）策略的结果，该策略由50%的绝对趋势策略和50%的相对趋势策略组成。

4.1 数据和回测设定

数据包括15个股票指数、21个商品市场、12个发达国家政府债券、4个利率市场和7个货币对市场（均为相对于美元）的最具流动性的期货品种，时间范围从2001年1月到2018年12月。本文使用彭博提供的期货每日结算价格（切换合约时滚动构建）。

非前瞻性

本文基于截至第

t-1

天的价格数据计算不同策略在第

t

天的模型组合，交易在第

t

天的结算价格执行。因此，本文假设模型组合计算与交易执行之间存在一天的延迟，考虑到所选资产的高流动性，这是一个保守的执行假设。为了分析交易成本的影响，回测模拟分别在无交易成本和每手交易成本为20美元的情况下进行。

信号生成

本文将绝对趋势信号

s_{i, t} \\

定义为风险调整的指数加权移动平均线的交叉点。根据以下算法，信号

s_{i, t} \\

分四个步骤构建：

计算资产 $i$ 的短期 $S$ 和长期 $L$ 指数加权移动平均值 $\text{EWMA}_t(P_i, S)$ 和 $\text{EWMA}_t(P_i, L)$ ；
计算短期和长期指数加权移动平均值之间的差值 $\text{DMA}_t$ ；
根据RiskMetrics方法计算 $\text{DMA}_t$ 的指数加权标准差 $\sigma(\text{DMA}_t)$ ；
$s_{i,t} = \frac{\text{DMA}_t}{\sigma(\text{DMA}_t)}$ 。

(本文测试了参数组合[

S = 8, L = 24

]、[

S = 16, L = 48

] 和[

S = 32, L = 96

]）

给定分配

w_{ij,1}\\

、

w_{ij,2}\\

时，资产组

(i, j)

的相对趋势信号

s_{i,j,t}\\

定义为单个资产的加权绝对趋势信号的差异：

s_{i, j, t} = w_{ij, 1}\cdot s_{i, t} + w_{ij, 2}\cdot s_{j, t}

对于纯相对趋势方法，权重分配为

w_{ij,1} = -w_{ij,2} = \sigma_{i,j,t}

时，有

s_{i, j, t}^{rel} = \frac{1}{\sigma_{i, j, t}}\cdot (s_{i, t} - s_{j, t})

。

组合构建

组合自下而上构建，其中分配给单个资产的资金基于单位风险头寸，并根据趋势信号进行杠杆调整。单位风险头寸确保对具有相同趋势信号的资产（或资产对）分配相等数量的资金，使用logistic函数

f(s)

将信号映射到杠杆因子，这样的函数确保资金的分配随着信号增大而增加。三种趋势跟踪策略的组合构建算法定义如下：

(纯）绝对趋势策略（时序动量）

每个资产分配单位风险头寸 $u_{i, t} = v_i \cdot \frac{\sigma_T}{\sigma_{i, t}} \cdot K$ ，其中 $K$ 是总资金， $\sigma_T$ 是用来控制整体组合波动率的自由参数，大类资产权重 $v_i \geq 0$ 且 $\sum_i v_i = 1$ ;
绝对趋势信号 $s_{i,t}$ 通过logistic函数 $f(s)$ 映射到 $[-1, 1]$ ；
分配给资产 $i$ 的资金计算为： $c_{i,t} = f(s_{i,t}) \cdot u_{i,t} = f(s_{i,t}) \cdot v_{i} \cdot \frac{\sigma_T}{\sigma_{i,t}} \cdot K$ ；

（纯）相对趋势策略（截面动量）

每组资产 $(i, j)$ 被分配单位风险头寸 $u_{i,j,t} = v_{i, j} \cdot \frac{\sigma_{T}}{\sigma_{i, j, t}} \cdot K$ ，其中 $K$ 是总资金， $\sigma_{ij,t}$ 是（风险调整后的）资产组 $(i, j)$ 的波动率， $v_{i,j} \geq 0$ 且 $\sum_i\sum_jv_{i, j} = \sum_iV_i=1$ 是大类资产权重；
相对趋势信号 $s_{ij,t}^{\text{rel}}$ 通过logistic函数 $f(s)$ 映射到 $[-1, 1]$ ；
分配给资产 $i$ 的资金对应于分配给包含该资产的每个资产组资金的总和： $c_{i,t}=\frac{\sigma_T}{\sigma_{i,t}} \cdot K \cdot \sum_j f\left(s_{i,j,t}^{\text{rel}}\right) \cdot v_{i,j} \cdot \frac{1}{\sigma_{i,j,t}}$ ；

动态趋势策略（优化分配到绝对和相对趋势）

每组资产 $(i, j)$ 被分配单位风险头寸 $u_{i, j, t} = v_{i, j}\cdot\frac{\sigma_T}{\sigma^w_{i, j, t}}\cdot K$ ，其中 $\sigma_{ij}^{w}$ 是资产组在权重为 $(w_{ij,1}, w_{ij,2})$ 时的波动率；
优化分配的趋势信号 $s_{ij,t}^{\text{opt}}$ ，通过logistic函数 $f(s)$ 映射到 $[-1, 1]$ ；
分配给资产 $i$ 的资金对应于分配给包含该资产的每个资产组的资金的总和： $c_{i,t}=\frac{\sigma_T}{\sigma_{i,t}} \cdot K \cdot \sum_j v_{i,j} \cdot f\left(s_{i,j,t}^{\text{opt}}\right) \cdot w_{ij,1}$

4.2 绩效比较

在表1上表中的结果显示，没有考虑交易成本的情况下，所有的趋势跟踪策略在回测期间内都表现出显著的正收益。引入交易成本（见表1中表）降低了所有趋势跟踪策略的盈利能力，对于相对趋势策略，不能再拒绝平均收益为零的假设，动态趋势策略仍然是最具盈利性的策略。考虑到不同策略之间非常高的相关性（见表1下表），绝对趋势和相对趋势策略之间的分散潜力有限，因此这些纯策略的简单组合并不会自动在风险调整基础上带来绩效改善。这可以通过恒定混合策略的夏普比率来说明，该策略的夏普比率位于两个不同的纯策略夏普比率之间。

危机时期的表现

在图2中可以看到，尽管动态趋势策略的分布更对称，但至少在所考虑的时期内这并没有导致较小的危机alpha。

交易频率

交易成本对趋势跟踪策略的盈利能力有显著影响，表2上表中报告了引入交易成本后，各策略的夏普比率下降幅度。表2下表将夏普比率的下降幅度与策略的换手率联系起来。

单独查看不同列，可以直观看出策略的换手率显然是信号频率的函数。更（少）反应灵敏的信号导致更高（低）的换手率，从而导致更高（低）的交易成本。有趣的是，动态趋势策略的换手率总是小于或等于纯策略的换手率。这解释了为什么动态趋势策略比纯策略更少受到交易成本引入的影响。

绝对和相对趋势的分配

鉴于表1下表报告的相关性，预计动态趋势策略会将更多的资本分配给绝对趋势，而不是相对趋势。平均分配到绝对趋势的比例约为82%。在不同的趋势信号参数设置下，这一比例都非常稳定。在2009-2012年的后危机时期，相对趋势的分配略高（≈24%），这可以用该时期相关性水平的增加来解释。

剥离策略

动态趋势策略和绝对趋势策略之间的相关性非常高，而前者的夏普比率显著优于后者。动态趋势策略和相对趋势策略之间也是如此。因此，如果将绝对趋势和相对趋势部分分别从动态趋势策略中对冲出来，并构建剥离策略，应该能够生成更高的夏普比率。

本文将对应的纯趋势组成部分的权重设为零，具体而言，通过设置

w_{ij}^{absolute} = 0, \quad i = 1, 2, \ldots

构建相对剥离策略。

在表3中，本文总结了这种相对剥离策略的结果。在没有交易成本的情况下（表3上表），这种策略在夏普比率方面表现优于其他所有策略。事先给予相对趋势较少的权重是最优的（平均仅为20%），但事后相对趋势的盈利性显著较高。因此，至少在模拟期内，相对趋势似乎具有较高的持续性。如果引入交易成本，相对剥离策略仍然明显优于纯相对策略（表3下表）。

05 结论与展望

本文推导出纯趋势跟踪方法中绝对（时序）和相对（截面）趋势的事前最优风险配置，展示了最优权重依赖于两个输入，即资产的（绝对）趋势信号和相关性。

本文采用自下而上的方法展示如何在资产池的所有潜在组合中构建这样一种最优动态趋势跟踪策略，并记录了2001年至2018年的表现数据。事前的最优性转化为事后更优越的夏普比率和更具吸引力的回撤表现。在模拟期内，绝对和相对趋势的（事前）最优配置约为20%至80%。

最后，本文通过将绝对或相对趋势组成部分设为零来构建剥离策略。通过将绝对趋势组成部分设为零得到的相对剥离策略是一种有前景的策略，具有正偏的收益、适度的回撤特性，在忽略交易成本时具有较高的夏普比率。不幸的是，换手率非常高，这显著降低了夏普比率。

本文后续将进一步研究剥离策略，特别是通过将动态策略中的绝对趋势组成部分设为零得到的相对剥离策略。这种策略具有许多理想的特性，但受到高交易换手的困扰。如何在保持观察到的正面特征的同时减少换手率，需要进行进一步分析。

讨论时刻：

本文研究在趋势跟踪策略中时序动量和截面动量的最优组合，展示从直觉到理论分析再到实证验证的过程，提供最优组合构建思路，是否可以将文中的研究方法应用在其他具有时序特性和截面特性的因子上？

如果有好的建议，请留言给我们。

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