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文献阅读荟-No.279-基于指数期权回报的条件因子风险溢价建模

财经 2024-09-11 10:00 广东

论文：基于指数期权回报的条件因子风险溢价建模

Fournier M, Jacobs K, Orłowski P. Modeling conditional factor risk premia implied by index option returns[J]. The Journal of Finance, 2024, 79(3): 2289-2338.

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https://doi.org/10.1111/jofi.13324

01 摘要

本文提出了一种新的期权收益因子模型。通过非参数方法估计期权暴露，因子风险溢价可以随状态非线性变化。该模型通过在因子和期权收益动态上做出最小假设的回归进行估计。作者使用指数期权来估计该模型，以表征市场收益、市场方差、尾部风险因子、中介风险因子、高阶矩和VIX期限结构斜率等利率因子的条件风险溢价。市场收益和方差共同解释了超过90%的期权收益变动。方差风险溢价的大小是合理的，同时显示出明显的时间变化，在危机期间飙升，并且始终具有预期的符号。

02 模型和数据

2.1 期权收益的动态因子模型

本文目标是在尽可能少地做出参数化假设的前提下，估计期权对各种风险因素的暴露度以及因素风险溢价。用表示在时间 t 观察到的基于标的资产St的期权价格，该期权具有给定的行权价、到期时间和收益函数（即看涨或看跌）。遵循 Büchner 和 Kelly (2022) 的方法，基准实证分析采用平价（ATM）和虚值（OTM）期权的去杠杆化回报。使用去杠杆化期权回报有两个主要优势：一是去杠杆化使不同货币的期权回报同质化；二是去杠杆化的期权在时间上更具可比性。

为了在不依赖期权Delta值的参数化假设的情况下对期权回报进行去杠杆化，将期权回报按期权价格与标的资产价格的比率进行一般规范。t 到 t+1 的期权 O 的去杠杆化回报如下：

其中，表示期权 O 在 t 到 t+1 期间的回报。假设可以由以下形式的动态因子结构来描述：

其中，表示因子l在 t 和 t+1 之间的实现值，L 是因子的数量，和分别是期权在因子l上的条件截距和条件载荷。模型残差满足， EtP[⋅] 表示在物理概率测度下的条件期望。

为了允许期权暴露度具有丰富的动态性，作者将建模为期权特性（即到期时间和货币性）和状态变量的非参数函数。因此，给定风险因素的期权暴露度会随到期时间和货币性非线性变化，并随着状态变量的波动而随时间变化。

根据资产定价的第一基本定理，无套利机会的存在保证了随机折现因子（SDF）和风险中性概率测度 Q 的存在，使得期权价格满足：

其中是一期内的 t 时刻的条件无风险利率，是在风险中性测度下的条件期望。在式（2）中施加无套利条件，其中等于。那么，去杠杆化期权回报的风险溢价为

在给定的因子条件下，假设式（2）中的不被定价，因此满足。式（2）、式（4）和意味着去杠杆化期权回报的条件风险溢价是每个因子的条件暴露度乘以其条件风险溢价的和：

基于 Gagliardini, Ossola, 和 Scaillet (2016) 的研究，允许物理（P）和风险中性（Q）测度下因子条件期望的时变性。在给定的测度m下，的条件期望是 q×1 状态变量向量的线性变换。即

由式（6）可推出因子风险溢价：

其中表示因子风险溢价参数的向量。式（6）和式（7）中的条件期望和风险溢价的表示是非常通用的，并且嵌套了标准的资产定价模型。

在模型实现中，使用去杠杆化的期权超额收益来估计期权敞口和因子风险溢价的动态变化。再次利用（其中 rt 是无风险利率），可以看到去杠杆化的期权超额收益对应于去杠杆化期权收益与杠杆调整后的无风险利率之间的差值：

为了推导出对的模型预测，首先取式（2）的风险中性期望，然后从式（2）中减去得到的表达式，可以得到：

其中，第二个等式由式（6）得出，等式（11）嵌入了无套利条件，该条件表明，超额收益的条件截距等于所有风险因子的Q-期望与因子敏感度的乘积之和的负值。

2.2 期权收益敞口

无论其分布假设如何，期权定价模型都明确指出，期权对风险因子的敞口是模型状态变量和期权特性（如到期日、货币性和收益结构）的非线性函数。因此，期权对系统性风险的敞口各不相同。此外，即使在Black and Scholes（1973）模型中，敞口与期权特性之间的关系也是高度非线性的。

为了允许因子载荷在横截面和时间上可能存在的丰富变化，作者采用了一种非参数方法。将对给定风险因子的敞口建模为期权特性p×1向量和因子特定状态变量s×1向量的非线性函数。相关的期权特性包括期权类型、到期时间和货币性，因此。

用表示用于建模敞口的所有信号的 (p+s)×1 向量。一般来说，式（2）中期权 O 对因子l的风险载荷表示为

式（12）表明，随时间变化和跨期权敞口的波动完全由信号向量引起，而信号与敞口之间的非线性映射 βl(⋅) 仅取决于风险因子。

作者使用基扩展理论来建模 βl(⋅)，TPRS 基根据以下方式转换向量：

其中，是一个 k×1 向量，由 1、、交互项以及 h 个非线性基函数组成，使得

给定基扩展（13），风险敞口载荷满足：

其中，bl是一个 k×1 向量，包含跨O和t的的基表示形式的因子特定参数。因此，给定风险因子的敞口是基扩展（）的非线性函数中的线性（bl）。

作者在Kelly、Pruitt 和 Su（2018）的框架上将敞口作为期权特征基扩展的函数，使用 TPRS 基来模拟期权收益的高度非线性特性。将式（11）与敞口的定义（15）相结合，去杠杆化超额期权回报的因子表示为：

其中对应，而对应于。

2.3 数据

本文使用SPX的总回报作为市场回报率，该数据从CRSP文件中获得。无风险利率数据来自OptionMetrics。作者使用1996年1月至2019年6月的数据计算了每日去杠杆化的超额指数期权回报率，并利用2019年7月至2021年12月的每日期权数据进行样本外（OOS）分析。同时保留了到期期限从一个月到六个月不等的期权，并进一步将样本限制在货币性（）位于0.80至1.025之间的看跌期权和货币性位于0.975至1.15之间的看涨期权，最后排除了零买入价和卖出价是买入价五倍的期权。

作者将VIX指数的平方作为指数方差的代理变量，该数据来自芝加哥期权交易所网站，系统方差因子由VIX指数平方的日增量来代理，并将其称为VAR。

在实证分析中，文章根据货币性和到期期限的不同区间报告了看跌期权和看涨期权的结果。对于看涨期权，根据的大小，（0.975;1.02]、（1.02;1.07]和（1.07;1.15]分别表示平价（ATM）、虚值（OTM）和深度虚值（DOTM）期权的货币性区间。对于平价看跌期权，使用（0.975;1.02]，而对于虚值和深度虚值看跌期权，分别使用（0.9;0.975]和（0.8;0.9]。由于深度虚值看跌期权的流动性高于看涨期权，因此为SPX看跌期权设置了更宽的货币性范围。对于每种期权类型和货币性区间，作者报告了到期期限为一个月至两个月、两个月至三个月以及三个月至六个月的期权结果。

表1的A面板和B面板的左侧分别给出了看跌期权（A面板）和看涨期权（B面板）的描述性统计数据。平均回报率、标准差和夏普比率均以假设每年252个交易日为基础进行年化。在不同到期期限和货币性区间内，去杠杆化看涨期权的平均回报率均为正，而看跌期权的平均回报率则为负。去杠杆化看跌期权的平均回报率绝对值明显大于看涨期权的平均回报率。这是因为看涨期权对市场回报和方差风险具有正向敞口，而这两种因素的风险溢价符号相反。看跌期权对市场回报溢价（为正）产生负向影响，对方差风险溢价（为负）产生正向影响。因此，对于看跌期权而言，市场回报和方差风险溢价并未相互抵消。

表1还表明，不同到期期限和货币性区间内的回报率存在几种模式。首先，短到期期限（一至两个月）的看跌期权在Delta对冲前后的回报率均比长到期期限（除深度虚值外）的看跌期权更小。对于看涨期权，仅在Delta对冲后的去杠杆化回报中观察到这一模式。其次，与平均回报率一样，回报波动性也因期权类型、货币性和到期期限而异。第三，对于未对冲和对冲后的看跌期权以及对冲后的看涨期权，短到期期限期权的夏普比率绝对值超过了长到期期限期权的夏普比率绝对值。最后，由于去杠杆化，虚值期权的回报率绝对值小于平价期权的回报率。

03 实证分析

3.1 基准回归

本部分使用的SPX期权回报数据结构相当于一个大型非平衡面板。为了处理这种数据结构，本文采用两阶段普通最小二乘（OLS）估计方法，该方法结合了Fama和MacBeth（1973）的横截面面板回归。

基准模型包含了三个风险因素。第一个因素（l=1），MKT，对应于市场风险回报因素，并使用标普500指数的日总回报率超出无风险利率的部分来衡量。第二个因素（ l=2），VAR，捕获总体方差风险，并使用标普500指数条件方差的日变化来衡量，通过VIX指数平方的变化作为代理变量。第三个因素（ l=3），GAM，是gamma风险因素，由标普500指数日回报率的平方作为代理变量。

表2展示了第一阶段估计的结果。面板A报告了按货币性和到期期限区间划分的期权样本平均（无条件）敞口。为了获得无条件敞口，首先计算给定区间内所有期权每日敞口的平均值，以获得每日的一个观测值，然后计算每个区间在整个样本期间的每日敞口平均值。表2中面板A的结果表明，无论是看涨期权还是看跌期权，其无条件敞口均符合无套利期权定价模型的预测。对于看涨期权，其Delta、Vega和Gamma值均随着货币性（）的增加而减少，且这一趋势在所有到期期限下均保持一致。对于看跌期权，随着货币性的减少，其Delta值趋近于零，而Vega和Gamma值则减少。在平价（ATM）条件下，看涨期权的Delta平均值在不同到期期限区间内介于0.42至0.47之间，而看跌期权的Delta平均值则介于-0.43至-0.39之间。

图1通过绘制在状态变量样本中位数计算的每个因子的敞口，对表2进行了补充。平价看涨期权的Delta值约为0.5，并随着货币性的增加而单调递减。深度价内（DOTM）看跌期权的Delta值接近零，并随着的增加而递减至-0.5。因此，模型Delta的表现与标准简化模型隐含的Delta相似。

相比之下，模型敞口与市场方差风险（VAR）随到期期限变化的关系更为复杂。对于平价看跌期权，六个月期Vega低于一个月和三个月期Vega。这一模式与标准仿射模型（如Black和Scholes（1973）以及Heston（1993））的预测相悖，后者预测平价期权的Vega随到期期限的增加而单调递增。模型对平价看涨期权Vega的预测则与标准仿射模型基本一致。平价看涨期权和看跌期权的Gamma期限结构在=1时为向下倾斜，这也与标准期权定价模型一致。

表2的面板B展示了不同特征对期权解释力的分解，该解释力通过模型的R²来衡量，并分解为每个因子对模型解释力的贡献。列（4）、列（8）分别报告了看跌期权、看涨期权在每个期权区间中的总R²。对于看涨期权，R²在不同区间内处于84.6%至95.0%，对于看跌期权，R²的范围为91.9%至96.3%。长期限的价内看涨期权具有最低的R²。

为了评估每个因子对解释去杠杆期权收益率的贡献，作者计算了每个区间中每个因子R²的Shapley-Owen值。R²的Shapley-Owen值能够方便地隔离每个因子对去杠杆期权收益率解释力的贡献，同时考虑因子之间的潜在协同变动。对于看涨期权和看跌期权，市场收益率和方差风险的R²贡献率远远超过了伽马风险。无论是全样本还是按到期期限和货币性区间划分，两个因素（MKT和VAR）对看涨期权和看跌期权去杠杆收益率变化的解释力超过84%。

3.2 条件敞口和对冲表现

本部分作者基于条件因子敞口评估模型的套期保值表现，从投资者的角度出发，该投资者希望尽可能对冲风险，但又希望保持交易成本低廉，因此交易少数高流动性的合约。

首先假设投资者通过直接交易指数来对冲市场风险（MKT）。为了对冲未交易的VAR和GAM因子，按照以下方式构建期权因子模拟组合。在每个时间t，投资者首先决定使用多少期权进行对冲，用Nt表示。向量βl,t表示了每个因子l = 1,...,L的条件期权敞口，并将这些向量连接成一个Nt × L矩阵Bt。最后使用以下权重构建期权组合：

其中el是第个正交基向量，()†表示Moore-Penrose广义逆，由此产生的组合满足：

将在相同数据上估计的Heston（1993）模型作为基准，并比较两个模型在套期保值能力方面的两个方面。因子模型标记为“FM”， Heston模型标记为“H”。首先研究套期保值效率，两个模型中都对冲了市场因子、系统方差因子以及伽马风险的影响。接下来，通过将组合收益对因子的联合实现进行回归，来检查因子模拟组合跟踪因子实现的效果。如果组合完美地跟踪了因子，那么得到的回归系数对于被跟踪的因子应等于1，对于其余因子应等于0。

表3报告了模型的样本内（IS）和样本外（OOS）套期保值表现。面板A和C报告了套期保值效率，面板B和D报告了模拟组合跟踪因子实现的效果。为了展示模型预测的期权敞口的稳健性，作者考虑了三种套期保值情景。使用由给定日期上未平仓合约最高的五个、十个或十五个期权合约组成的模拟组合，不考虑期权类型、到期日或货币性。

表3的面板A报告了两个模型中由因子模拟组合解释的去杠杆期权收益方差的比例；这一比例可以直接解释为模型的套期保值效率。当使用许多（15个）期权进行对冲时（对于看跌期权为列（5）和（6），对于看涨期权为列（13）和（14）），两个模型都产生了良好的结果。将因子模拟组合中的期权数量减少到五个（看跌期权为列（1）和（2），看涨期权为列（9）和（10））对FM的套期保值效率有中等程度的影响（对于最难对冲的DOTM看涨期权，R²从91.6%下降到69.5%），而H模型的性能则急剧下降（对于DOTM看涨期权，R²从90.2%下降到-754.4%）。

由于MKT和VAR（对于FM模型）以及随机方差（对于Heston模型）在解释期权回报中的重要性，表3的B面板也检验了这些投资组合复制这些因素的效果。在持有10个或更多期权的情况下，两个模型都能准确地复制MKT回报（第（3）列至第（6）列），MKT因子模拟投资组合的估计载荷接近1，其余载荷在统计上不显著，且回归R²值超过90%。在只有5个期权的情况下（第（1）列和第（2）列），Heston回归的R²值下降到17%，而FM模型的R²值为81%。这些结果证实了FM模型预测的敞口比Heston模型更加稳健。在分析因子模拟投资组合如何跟踪方差因素（第（7）列至第（12）列）时，也存在类似的模式。

04 条件预期收益与预测性能

本部分展示了该模型在预测去杠杆化和经Delta对冲的去杠杆化收益方面的良好表现，包括样本内（IS）和样本外（OOS）。作者记录了FM模型在联合预测期权对风险因素的敞口以及时变因子风险溢价方面的表现，再次使用Heston模型作为基准。结果表明，在大多数情况下，FM模型和H模型对看跌期权的预测表现优于看涨期权。

遵循文献（Büchner和Kelly，2022）中的方法，本文的性能评估标准是预测。表5的面板A报告了样本内的日预测。在所有期权类型中，模型对去杠杆化收益的预测为0.47%，对经Delta对冲的去杠杆化收益的预测为0.27%。对于基准Heston模型，相应的分别为0.03%和-0.08%。表5的面板B报告了月度收益的样本内结果。FM模型仍然优于基准H模型。

根据面板C和D中的样本外（OOS）测试结果，该模型也保持了良好的性能，并确认了其在使用日度（面板C）和经Delta对冲的月度（面板D）去杠杆化收益时相对于基准Heston模型的优势。

05 结论

本文提出并实现了一种新型的条件因子模型，用于期权回报。期权因子敞口通过货币性、到期期限和条件波动率的基扩展进行非参数化建模。该模型提供了有关利率的任何经济因子的条件风险溢价估计，以及具有不同货币性和到期期限的期权对这些因子的时变敞口。

作者通过在一个包含各种货币性和到期期限的指数期权看涨和看跌期权日收益率的长期样本上的实践，展示了该方法的价值。本文的基准模型包含市场因子、捕捉波动率风险的因子和gamma因子。波动率因子的风险溢价符号与经济学直觉一致，大小合理，并且正如预期的那样，在危机期间溢价飙升。该模型很好地解释了不同货币性和到期期限下的预期期权回报，并且具有很好的对冲性能。

讨论时刻：

未来的研究仍有几个有趣的方向，扩展模型可能是有用的。例如，通过允许更精细的综合跳跃因子或考虑期权市场中的摩擦。此外，结合指数期权和股票期权回报可能会提供额外的见解以及改进的条件风险溢价估计（Duarte等，2024；Bégin等，2020）。从方法论的角度来看，仅使用交易因子来改进风险溢价参数的估计，并考虑与实证测试中使用的资产回报或价格不直接相关的因子，可能会更有意思。

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