量感的内涵、单元表现标准与教学建议

对于量感，2022年版课标中明确指出“量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知”，它主要包括三方面的具体内容：“知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，会在同一度量方法下进行不同单位的换算；初步感知度量工具和方法引起的误差，能合理得到或估计度量的结果。”课标为教材编写者、广大一线教师结合具体单元内容培养与提升学生的量感提供了抓手与学理依据。但是，学生的量感在不同单元内容中的具体表现是什么？例如，在二年级学习长度、三年级学习周长与面积、五年级学习体积这几个几何量时，学生能够完成哪些任务或有哪些表现就表明他们“初步形成量感”“形成量感”“进一步形成量感”呢？本文将以读懂2022年版 课标为基础，结合“容量、体积与容积”单元内容阐述量感的具体表现、不同的目标要求与培养学生量感的建议。

一、量感的内涵与行为指标

对事物的某些属性进行度量是人类研究事物性质、特征的基本活动。从概念上看，度量就是用一个数值表达物体的某一属性；从行为上看，度量就是选择与待测量对象同质的“一小部分”作为标准（单位），将选择的标准和待测量对象进行比较，标准的个数就是度量的结果。测量活动一般都要经历“定性地描述”到“精准地刻画”的过程，前者指通过观察、操作等直观活动感受量的大小，并用较为笼统的语言表达；后者则指确定测量单位，通过使用测量工 具或计算、推理等方式用具体数值刻画量的大小。例如，“珠穆朗玛峰是世界第一高峰，很高很高”属于前者，“珠穆朗玛峰的岩面高程为8844.43米、雪面高程为8848.86米”属于后者。量感的形成也要经历这两个过程，即“对事物的可测量属性与大小关系的直观感知”。“直观感知”有不同水平，即量感在具体数学内容上有不同的层级表现。对任何量的度量，其内容结构都相同，具体表现为以下几个方面，这些方面是 划定量感的表现标准的依据。

1.确定度量单位是度量的根基。 

所有测量活动均需要确定获得广泛认可的单位（标准），并用这个单位的个数描述量的大小，即量化表达事物的属性。如果针对某个属性找不到统一的、获得广泛认可的单位，则可以说这个属性是“不可测量的”。一般来说，自然科学中所研究的对象基本上都是“可度量的”，而人文科学中很多属性是“不可度量的”。例如，一个人的责任心、爱心、使命感等都找不到度量单位。度量单位的确定必须能够表达度量的本质，方法科学、表达准确、相对稳定，能够得 到人们的广泛共识^[1]。 

2.有多种途径可以获得度量结果。 

最朴素的度量方法是数出单位的个数，但数数有时候太麻烦，所以人们根据度量属性不同创造出多样的度量工具。如果用度量工具度量还是太麻烦，则将“有规律的度量”转化为用公式计算或通过推理求得度量结果。利用这些方法都能获得度量结果，但需要根据实际问题灵活选择合适的方法，没有必要在学习任何一个量时都退回到数数法。

3.量一般具有连续性特征，度量结果具有一定的误差。 

由于事物的可测量属性一般都具有连续性特征，即度量单位可无限分割产生更小的单位、度量单位之间构成一个体系而不是只有一个，因此，同一次度量时要用同一个单位，将比较量的多少转化为比较数的大小，这样才便于表达、交流与沟通。量的连续性特征也带来一些具有思维价值的活动：能够理解单位越小，度量的结果越精准，反之越粗糙，即度量工具不同，度量结果都有误差；根据具体情境或问题的要求选 择合适的度量单位，都能合理得到或估计度量结果，并用数表达；国际标准单位之间都有逻辑关系，最常见的是十进制关系（时、分、秒除外，但毫秒以下的两个相邻单位之间是千进制），这样更便于比较量的大小。 

4.基于人类的本能与认知特点，使得认识并理解各类量成为可能。 

人类能够进行度量、能够对度量单位达成共识基于两个先天本能：对数量多少的感知和对距离远近的感知。在此基础上，人类又具有两种特殊的能力：抽象能力和想象能力。人类可以借助这两种特殊的能力把两个先天本能延伸到对事物的某些指标进行量化，以及对量化顺序的感知，这就触及了度量的本质^[1]。此外，人类关于量的大小的感知还具有守恒性。“守恒”一词最早由瑞士心理学家皮亚杰 提出，指“虽然一个物体经历了变形，但是它的某个特点依然保持不变”。守恒概念的获得是儿童认知发展的重要指标，未获得守恒概念的儿童处于前运算阶段，获得守恒概念的儿童则进入了具体运算阶段。儿童一旦获得守恒概念，就说明他们已经具有了数理逻辑推理能^[2]。学生理解体积概念、比较与测量图形体积大小及运用公式计算体积解决实际问题等都以 具备体积守恒概念为前提。根据皮亚杰的认知发展理论及弗赖登塔尔关于量的理论，可知小学生关于体积的守恒概念具有以下四个表现水平，这是划分量感表现标准的重要依据（五年级学生一般都能达到水平1和水平2，只有部分学生能够达到水平3和水平4，且某些情境下学生能达到但有些情境下又达不到水平4）。

水平1：运动不变性守恒。物体的体积不因摆放位置或承载容器的变化而变化，也不因物体的平移、旋转运动或形状改变而改变。例如，学生最初认识到的是“液体守恒”，如只要水的量没有变化，无论放在哪个杯子里，水的体积不变；然后是“固体守恒”，如把一块橡皮泥捏成不同形状，只要不增加、不减少橡皮泥，它的体积就不会发生变化。

水平2：互补性守恒。将某个物体分割为若干块，每块的体积之和等于这个物体的体积；这个物体的体积减去某一部分或某些部分等于 其他部分的体积。

水平3：简单推理性守恒。等量加（减）等量还是等量（可加性）；Va=Vb，Vb=Vc，则Va=Vc（传递性）。

水平4：较复杂推理性守恒。将前述水平2、水平3综合起来。例如，某个土豆放到盛水的容器里后水面上升的高度，等于将1个苹果和2个杏子放到同样的盛水容器里后水面上升的高度，则这1个苹果和2个杏子的体积之和等 于这个土豆的体积（在上述过程中，土豆、水果 均浸没于水中，且水均未溢出）。

研究量感的行为表现时，应关注直观感知、选择、估计、推理这四个关键词。直观感知是判断的基础，与核心素养“三会”中的数学眼光有关；选择是判断的依据，与核心素养“三会”中的数学思维有关；估计、推理是对判断结果的表达，与核心素养“三会”中的数学语言有关。直观感知、选择、估计、推理是做出合理判断的基础，也沟通了量感与核心素养之间的关系。可以说，培养学生的量感可以发展学生的数学思维，有助于学生核心素养的形成，能帮助学生更好地建立数学与现实世界之间的联系。

二、量感在“容量、体积与容积”单元的表现标准

学生学习体积时经历了从对一维空间长度的度量到对三维空间大小的研究，无论是度量对象还是度量单位、度量方法等都越来越复杂。学生对“物体所占空间的大小是物体的体积”这样的描述是否知道并不影响他们理解体 积概念，人类从出生首先直觉感知的就是三维 空间的物体，知道哪个物体大些、哪个小些，其难点是如何精准地比较、描述“所占空间的大小”，因为：第一，解决体积问题时，不再像长度、面积那样可以直接通过一次或多次“叠合”比较其大小；第二，任何一个物体都有长度、表面积、截面积等这些一维、二维的量需要刻画，人们可能会混淆这些量与体积；第三，很多物体的体积 可以转化为液体的体积，而液体的体积“可变形”，涉及较多的推理与空间想象过程，且遵循“等量的等量相等”这一基本原理；第四，学习体积时，还要进一步抽象概括出长度、面积与体积等度量内容的相同结构，实现整体把握知识结构。因此，“容量、体积与容积”单元内容多且有难度，量感这一素养目标在本单元的行为表现层级较复杂。

1.容量、体积与容积的联系与区别。

三维空间的大小刻画涉及三个概念：容量、体积与容积。容量是“生活概念”，特指液体所占空间的大小。学生有丰富的生活经验来理解容量这一概念，同时由于液体易变形，可以分装在不同的容器中，所以学生容易感知液体体积的大小。体积统指“物体所占空间的大小”，学生理解起来有一定的难度，因为空间不像长度、面积那样易于感知，学生初步理解物体的体积时往往需要通过一系列的转化、替代，例如，将某物浸没在装水的容器中，通过转化为长度（水面上升的距离）或将溢出的水盛在另一容器中来理解这个物体“所占空间的大小”。容积指容器内部所能容纳物体的体积。容积既可以指固 体所占空间的大小，也可以指液体所占空间的大小。一般来说，如果忽略容器的“厚度”，则这个容器的容积等于这个物体的体积。但有时容器的“厚度”不能忽略，容器的容积就小于它的体积。因此，学生理解容积最困难，尤其是在解 决较复杂的实际问题时。 

2.关于本单元不同版本教材的编写逻辑不同。

不同版本教材在编写“容量、体积与容积”单元内容时采用的方式不同。笔者比较赞同苏教版教材的编写体系。按苏教版教材的编写体系，学生在四年级上学期学习容量（升和毫升），在六年级上学期学习体积（容积）与体积（容积）单位、长方体和正方体的体积计算公式、体积单位之间的进率等与解决实际问题。人教版教材与北师大版教材都没有专门安排容量内容，都在五年级下学期学习长方体和正方体的体积，但这两个版本教材的编排逻辑略有不同。按北师大版教材的编写体系，学生在认识体积概念后紧接着认识容积概念，然后学习体积（容积）单位、长方体和正方体的体积计算公式、体积（容积）单位之间的进率等内容。按人教版教材的编写体系，学生先认识体积概念、体积单位、长方体和正方体的体积计算公式与体积单位之间的进率，然后学习容积与容积单位。

3.量感在本单元的表现标准。

研究量感在二年级“认识长度”单元的表现标准时，我们把度量对象、度量单位、度量方法及如何表示度量结果这四个方面作为内容进阶维度，把直观感知、程序操作、推理与估计、联系与结构这四个不同水平作为认知维度，就形成了分析教材的二维框架，再根据这个框架分析教材上的例题、练习题及测评题目等具体学习内容，以此描述量感在本单元的具体表现^[3]。如前所述，“容量、体积与容积”单元的内容较多且思维含量较高，划定量感在本单元表现标准的指标框架略有调整，内容维度包括度量对象、度量单位、度量方法及度量结果的表示与运用这四个方面，认知维度包括直观感知、程序操作、简单推理、推理与估计及联系与结构这五个水平。下面按照这一指标框架分析苏教版教材与人教版教材内容，确定量感在本单元的具体行为表现，厘清素养目标的行为表现，以有效落实素养培养。

层级1：视觉的直观感知，即凭眼睛观察即可比较体积大小。

比较容量或体积差距较大的物体时，不需要任何的直观操作、度量或用公式计算就可以比较它们的大小，五年级的学生都能达到该水平。教材中该类内容占比非常少（约为2%。关于该百分比，只考虑培养学生量感的素材，不含基础知识、基本技能方面的练习题，下同），一般出现在导入部分或最简单的练习题中。

例如，苏教版教材四年级上册“升和毫升”单元首先借助生活经验认识容量，学生通过观察感知直接比较两个容器容量的大小（如图1），人教版教材五年级下册“长方体和正方体” 单元也有类似的内容。

层级2：互补性直观感知，即将一个物体替换为另一个物体，或将其分割成若干部分，再比较大小。

当不能通过观察比较物体容量或体积大小时，最常见的是将固体转化为易变形的液体，固体的体积替换为一部分或几部分液体的体积。例如，苏教版教材四年级上册“升和毫升”单元例1的第二问（图略）与人教版教材五年级下册“长方体和正方体”单元的内容（如图2）。层级2的内容在教材中的占比也不多（约为8%），但它是学生达到量感更高层级的基础，务必使所 有五年级学生通过学习都能够达到该水平。

层级3：单一度量单位水平，即用度量单位的个数表达度量值，度量单位是一个非标准单位或标准单位，用数比较或描述容量或体积的大小。

这部分内容在教材中的占比约为28%。度量单位是一个非标准单位的内容不多，例如，苏教版教材四年级上册“升和毫升”单元例1的第三问（如图3）。更多的内容是用国际标准单位表达容量、体积或容积的大小，并能用常见的物体描述1个国际标准单位的大小（如图4），这是形成并发展量感的关键。学习本单元之后，至少90%的学生应该达到该水平。

层级4：推理与估计水平，即能够通过推理掌握并运用公式求得物体的体积或容积、知道度量单位之间的进率，能够根据实际情境选择合适的单位刻画或估计常见物体的容量或体积，能够综合运用量的可加性、传递性等解决实际问题。

该层级内容在教材中的占比最多，约为45%。人教版教材中的相应内容如图5所示。学过本单元后，大约75%的学生能够正确解决该水平层级的问题即是较满意的效果。

层级5：联系与结构化水平，即能够在实际问题情境中正确地或创造性地解决有关长度、面积、体积与容积或者涉及其他量的问题，感悟具体量的大小；能够感悟度量的本质是“确定单位及单位的个数”，并概括不同量之间的相同与不同之处，形成度量结构。

该层级内容在教材中的占比约为17%，主要体现在思考题、整理与复习部分（人教版教材中的相应内容如图6）。学习本单元后，大约40%的学生能够正确解决该层级的内容即是较满意的效果。

三、培养学生量感的教学建议

史宁中教授指出，度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是认识、理解和表达现实世界的工具^[1]。也就是说，数学就是引导学生用数量化的方式认识世界。因此，要感悟度量本质并形成量感，应立足三个层次：一要让学生感 悟度量是“给度量对象指定一个合适的数”；二要让学生感悟长度、面积、体积、质量等的度量在本质上是一致的；三要让学生感悟度量的核心要素（明确度量对象，构建或选择标准度量单位，创生度量工具，探索获得度量值的方法），这是感悟度量本质的重点。量感是一种感觉，这种直观感知建立在观察、度量等活动的基础上，但是仅通过简单的度量并不能形成，需要人们根据知识、实践或心理经验，结合对事物的可测量属性的已有认识，在一个较长期的反复体验、不断矫正的感悟和实 践过程中做出综合判断，是在“物理量感”与“心理量感”不断调适中形成的。量感培养的重点 不在于已知度量单位后进行度量，而是让学生 能够识别出度量对象的属性，并“创造”或选择合适的度量单位进行量化。因此，应让学生在不了解度量工具、不知道度量单位的时候，就进入适宜培养量感的环境。 

1. 逐步让学生感悟度量四要素的重要性，理解度量的本质。 

培养学生的量感，一要让学生明白度量对象的属性，掌握不同量之间的本质区别，对不同的量要建立清晰的认识；二要确定度量单位，判断度量对象的数量级，根据对象的大小、长短、多少等，选择合适的单位；三要明晰度量工具与方法；四要善用常见的参照物进行估计和比较，能精准表达出度量结果（计量单位的个数）。也就是说，只有清楚地认识度量对象、明白度量对 象的属性，才能很好地确定、创生单位，合理地选择、使用单位，才能完善单位系统、理解单位之间的转化，才能选择、运用工具和方法，表达度量结果，即确定计量单位个数。教师若能厘清度量的四个要素，能抓住度量四个要素的关键点、进阶点，就能很好地引导学生不断感悟度 量的本质。

2.选择合适的度量单位进行估测是形成量感的关键。 

学生在头脑中形成单位观念是培养量感的关键。其中，“单位”不一定是国际标准单位，还可以以常见物品作为单位，例如，食指尖的体积大约是1立方厘米，常见矿泉水瓶的容量（积）大约是300毫升，选择适当的常见物作为标准进行估测更有效。因此，在该单元的学习中，可以组织学生对身边的各类矿泉水瓶、水杯、魔方、粉笔盒、行李箱等的体积进行估测，并交流估测方法。教师若能抓住利用非标准参照物建立和灵活应用非标准单位的关键点，特别是组织实践活动形成丰富多样的常见非标准单位，将有助于学生灵活解决现实情境中的精准估计度量结果问题。实际估测活动中，可以利用标准量进行估测，也可以借助身边熟悉的物品进行估测，最后通过计算将估测结果转化为用标准单位表示的数值。当然，也可以再让学生亲自度量估测对象的长、宽、高，运用公式计算求得体积值，再与估测结果进行比较、检验，形成对估测物体积更为准确的认识。估测与实测相结合，动手操作与计算推理相结合，能较好地培养估测意识与能力，促进估测策略的不断完善，为培养学生的量感打下坚实基础。

3.要充分经历直观操作、想象、估测与推理等活动。 

从教学层面看，小学阶段的测量，每个结论都应当伴随着学生自己的发现、归纳与整理。教师简单告知学生计量单位有多大或者采用单一的活动操作，只能让学生的体验停留于表面，不能深入形成量感。要实现建立与完善精准表达的量感，教师需要在教学中多提供用单位量实际测量身边物体某个属性的活动，使学生丰富和积累足够的实际测量经验，组织学生 进行多样化的估测活动，尝试从不同的角度进行估测，通过选择画图、比较、联想、拆分、找参照等合适的估测策略，运用类比的思想，想象和推断出度量值，再借助工具进行准确测量，对先前的估测做出调整，不断修正对量的大小的感知。学生经历估测、想象、验证、分析、推 断等高层次的思维活动历程，在操作实践与内在的深度思考的结合下，在“构建—调整—再构建”的过程中，不断完善对量的估测策略。从某种意义上说，估测能力的提高意味着学生量感的精准化。

参考文献：

[1]娜仁格日乐,史宁中.度量单位的本质及小学数学教学[J].数学教育学报,2018,27（6）. 

[2]迈克尔·西戈，张新立.儿童认知发展研究:一种皮亚杰学派观[M].成都:四川教育出版社,1999.

[3]刘加霞.学习进阶视角下素养目标表现标准的研制步骤与方法[J].教学月刊（小学版·数学）,2023(1/2).

【本文系基金项目——北京市教育科学“十四五”规划2023年延续课题“进阶视域下小学生‘量感’表现性评价研究”（编号：CEFA23067）的阶段性成果】