2023.11.18六
题记:我主要从事中学数学教学工作，有人说既要深入了解自己所教学的内容，也要对前面的知识及后续的知识有所了解，于是我翻看小学数学课本，首先想弄清楚小学的计算是怎么一步步发展的？各个年级教到哪里？也想知道小学所蕴含的数学思想方法跟后续的哪些知识有关联？遂做了如下的笔记。首先看计算的各知识点在各年级的分布:
一年级上册:
1～5的认识和加减法
6～10的认识和加减法
11～20各数的认识
20以内的进位加法
一年级下册
20以内的退位减法
100以内数的认识
100以内的加法和减法（一）
二年级上册
100以内的加法和减法（二）
表内乘法（一）
表内乘法（二）
二年级下册
表内除法（一）
表内除法（二）
混合运算
有余数的除法
万以内数的认识
三年级上册
万以内的加法和减法（一）
万以内的加法和减法（二）
多位数乘一位数
分数的初步认识
三年级下册
除数是一位数的除法
两位数乘两位数
小数的初步认识
四年级上册
大数的认识
三位数乘两位数
除数是两位数的除法
四年级下册
四则运算
运算律
小数的意义和性质
小数的加法和减法
五年级上册
小数乘法
小数除法
简易方程
五年级下册
因数和倍数
分数的意义和性质
分数的加法和减法
六年级上册
分数乘法
分数除法
比
百分数
了解了小学数学教材对整个小学数学计算的分单元设置，就可以知道前运算阶段、具体运算、形式运算是怎么一步步发展的，也能根据各单元的知识点较快地检测个训学生所处的计算水平。下面写写我对各知识点的认识。
一、数感的培养
通过数物体的方式认识1，2，…，9，0。能说出一个数相邻的数。能2个2个、3个3个、5个5个地数。能说出一个数的前一（两）个数后一（两）个数是谁。这些知识或技能过关了，数感的底子才算比较牢固。
【附】仅仅知道这9个数字还不够，教学实践发现，学生能说出一堆物体的个数，但如果要根据数字拿出对应数量的物体却不会了。
二、10以内的加减(一年级上册)
10以内的加法应该说是比较简单的，实在不行就数手指头吧！诸如2+8=10，一位数相加等于10的5种情况，是数感的重要基础，以后凑十法及破十法都会涉及。
10以内的减法，可能是学生最早接触到的逆向思维，有点逻辑思维的味道了，因为2+6=8，所以8－6=2。我想此时就应该给学生建立两个数学模型的思想，即:
加数+另一个加数=和、
被减数－减数=差。
孩子的头脑中有这些模型，后益无穷！
练习中会有这样的题目:马小虎做减法计算题，把减数3看成8，得到结果1，问正确的结果是多少？
（实际上，教材没这么快介绍这两模型，到了20以内的数的时候才介绍）
三、数位制
接下来是认识10，显然这是数学认知的一大飞越，“数位”来了。用十位上的数字1来代替个位的10个，这是一种代数思维。历史上用有限的数字通过数位来表示更多的数，是经过很长时间的，儿童学习这自然也是会遇到困难的，这就是认知历史的相似性原理吧。“千位、百位、十位、个位”，十位上是几就表示几十。理解了十进制原理，二进制就好理解了，“十六位、八位、四位、二位、个位”，1010表示10（8+2=10）。
从19到20也是一次飞跃，不过有了对10的认识基础，接受20应该不会难了。
四、20以内的加减（一上下）
经过一段时间的沉淀，小朋友已经能快速地说出2+7，4+6，9－3等于几的时候，20以内的加法就出现了。先得学10+几、几+10，再学诸如8+3的计算，这里或许是学生最早接触转化思想的地方，8+3=（1+7）+3=1+（7+3）=1+10=11，不要小看这个只有两步的式子，思维量大着呢！如果说学了10+1=11，再学10+2=12是个同化的过程，那么学习8+3就是一个顺应的过程，因为认知结构需要扩大，首先是遇到不是刚好10加几的困难了，要知道转化，想到凑10，接着需要7+3=10这个经验，还要有8的分解的经验，这是一个分析的过程，而演绎的过程是:8分成1和7，7+3=10，10+1=11，头脑中要储层好多个数字，对于一年级的小朋友来说，确实有难度啊！
对于20以内的减法，则更有挑战了！因为是逆向思维。12－3=？，2－3不够减，怎么办？此时如果懂得用12中的10来减3的人，真是个天才，分析的过程在此略过（仍然是转化的思想），演绎的写法是12－3=（2+10）－3=2+（10－3）=2+7=9，课本中是用摆小棒的方式来解释这个过程的，我没有教过一年级的小朋友，不知道他们能不能理解算式的每一步过程。还有的人是这么算的，3－2=1，10－1=9，综合起来就是12－3=10－（3－2）=10－1=9，这种想法好可爱啊！既然2－3不够减，那我就用3－2，再10－1，我问用这种方法计算的孩子，为什么这么想，她说不出来。我是这么理解的:有A，B两家，A家的女儿有10元，儿子有2元，B家的女儿有0元，儿子有3元，问A家的资产比B家的多多少？A家的女儿比B家的多10元，但由于A家的儿子比B家的儿子少1元（3－2=1），所以总的来说，A家只比B家多9元（10－1=9）。
也可以这么理解，2减3不够减，那就从12的10那借点来减，该借多少呢？最好是1（3－2=1），这样最后只需10－1即可。演绎的写法是12－3=10－1+1+2－3=（10－1）+[（1+2）－3]=10－1=9。
教材把20以内的进位加法放在一年级上册，把退位减法放在一年级下册，这是编者对儿童认知特点深刻认识的结果。
从上面的式子可以看出，将一个数拆开再进行组合，这种方法在今后是经常遇到的，比如说因式分解的时候、配方的时候。
x²+2x－3
=x²－x+3x-3
=x(x－1)+3(x-1)
=(x+3)(x-1)
y=x²+2x－3
=x²+2x+1²－1²－3
=（x+1）²－4
五、100以内数的认识(一下)
学生已经会数11，12，…20，再接受21，22，…91，92…，99，应该是不难的，教材专门设这一章，目的是进一步积累满十进一的经验吧，孩子们从1数到100，多数几次，增加数感。
六、两位数的加减（一下二上）
教材对这部分的安排非常缓慢，分成两个单元，分别放在一年级下册及二年级上册，可见儿童接受这些知识是很需要时间的，毕竟孩子在计算的时候要处理好多个问题:同位相加减、数位对齐、进位或借位，等等。
两位数减一位数退位的情况，教材也是提供了两种思路，一种是连减36－8=36－6－2，实际上是根据需要把减数分解。一种是36－8=20+16－8，把被减数分解。
至此一年级结束了，不知道一年级的小朋友学习这些数学计算是什么感觉？
