旧文新读|【083】What is the expected return on the market?

学术财经 2023-08-26 13:46 四川

【20230826更新】在 A 股市场主要指数连续大跌三周、一片悲观的背景下，是时候让我们应该重温一下 Ian Martin 的研究。

值得注意的是，Martin 的 SVIX 指数的有效性依赖于基础的期权 put-call parity，而中国 A 股市场主要的期权产品的流动性问题使得 put-call parity 往往并不成立，从而影响了其在 A 股市场的预测能力。北大王熙老师等已投稿至某中文顶级期刊的文章（王熙等（2022））对此进行了修正，进而提出了更适应中国市场特征的流动性修正的 VIX（LVIX），并获得了更好的表现。

【写在开头的话】去年底的计划中说今年会介绍关于一些市场预期收益的研究。在今年的最后一个月，园长来补作业了。

另外，本文较长，也有不少公式，虽然并不复杂（我保证，只要有基本的实证资产定价原理和概率论知识，都能理解），但要仔细理解仍需不少时间，请谨慎食用。最后，有一些公式稍长，可选中公式后滑动阅读。

让我们从一个轻松的故事开始。我们知道，股票收益可以分解为资本利得（capital gains）和股息收益（dividend yields）。Naive investors（较“笨”的投资者）可能会倾向于购买股息收益率高的股票，因资本利得不变时，高股息收益率意味着更高的股票收益。相应地，sophisticated investors（专业投资者）则会说，“傻瓜，高股息率会被低资本利得所抵消，这些公司的股票收益并不会更高。”颇为讽刺的是，事实上，这些看起来较“笨”的投资者似乎才是正确的，高股息收益率往往预示着更高的股票收益。

当然，上述论点并不新鲜，我们也可以从公司估值的角度对此进行解释，这正是已有研究已经进行的工作。但需要注意的是，股息收益率的计算依赖于财务指标，低频，且往往变化非常缓慢。因而其通常对长期收益的预测能力更为显著。相应地，我们是否有可能找到一个不依赖于财务指标，甚至无需模型参数，且可以实时更新的市场预期收益的估计呢？

也许您会说，这太难了吧，怎么可能做到呢？难，的确是很难的，但并不代表做不到。

这里的关键在于衍生品定价中的风险中性测度框架，而风险中性测度下的市场波动率/方差是可以通过一系列期权的实时交易价格得到的。

1. 简明概要

为便于理解，在详细介绍之前，先对相关方法的主要思路做一个简要的梳理。

通过对资产的风险中性价格恒等式作变换，我们可以将任意资产的收益表示如下：

其中，是期的无风险收益，是持有资产（例如，市场组合）到期的收益，为随机折现因子（SDF），上标代表风险中性测度，为资产收益在风险中性测度下的方差，而为资产在真实测度下的预期收益。需要注意的是，按照理论研究的表述惯例，所有收益都是总收益（即 1+净收益）。

当时有：

换言之，资产收益的风险中性方差（的贴现值）给出了资产预期收益的下界。当我们考察市场组合的期望收益（即股权溢价）时，市场收益的风险中性方差可以利用一篮子股指期权的组合的价格来表征。由于股指期权是实时交易的，因而，我们便可得到一个无需财务数据和模型参数的股权溢价下界的实时估计。非常有意思的是，虽然其推导略有一点绕，但最后的结果却非常巧妙，且这一结果可以用图形非常直观地表示出来。

进一步，可以证明，这一下界在很多情况下是紧的。换言之，股权溢价刚好等于这一下界。因此，我们便可由此得到股权溢价的实时估计。

特别地，据此得到的股权溢价的实时估计结果表明，股权溢价是高度波动的、右偏的（参见图 1 的 . 蓝线则是 Campbell and Thompson (2008) 的经典指标）。

当然，这一结果并不足够吸引人。真正吸引人的地方在于其应用价值：

首先，已有研究通常认为估值指标是较为经典、有效的股权溢价预测变量。但这类变量在 1990 年代后期会长期预测市场溢价很低，甚至为负，但实际上市场持续数年获得了很好的收益。但这一新的预测变量则给出了完全不同的结果：至少在一年左右的时间内，其预测的股权溢价很高，与现实更加契合。
其次，Goyal and Welch (2008) 的经典研究用样本外（）作为度量指标，检验表明很多经典的宏观变量对股权溢价的样本外预测能力并不是很强，至少远低于其样本内的拟合能力。而这一新的实时预测指标则完全不同，其对未来 1 到 12 个月的市场收益预测的样本外均为正，且不逊于样本内的拟合能力。

接下来我们更详细地看一看如何构建这一预测指标。

2. 预期收益与风险中性方差的理论关联

资产定价可以通过 SDF 和风险中性定价两种方法进行。对于 SDF，资产价格可表示为：

，其中，为 SDF，为时刻的 payoff，而为在时刻的价格。对于风险中性定价，则可写作下式：

. 通常，在实证资产定价研究中，往往使用 SDF 表示；而在更强调无套利准则的场景中（例如，衍生品定价），则更多使用风险中性定价。联立上述两个式子，可得资产收益的条件方差如下：

进一步可得下述恒等式：

其中，第一个式子来自同时加上并减去，而第二个式子则由条件方差和协方差的定义，以及 SDF 满足和得到。

上述式子表明，资产的期望（超额）收益，等于其风险中性方差的贴现值，减去资产未来收益的现值同其未来收益的协方差。特别地，当后一项协方差小于等于 0 时，上述式子表明，资产收益的下界由其风险中性（条件）方差给出：

事实上，大量证据表明，

这一条件是较为容易满足的，尤其是对于市场指数而言，因而前述关系在理论上通常是成立的（您若是对此感兴趣，可阅读原文第 3 节的详细例子）。

此外，鉴于经典的 HJ bound（Hansen and Jagannathan, 1991）给出了资产预期收益的上界，结合二者可以得到资产预期收益的范围如下：

其中，和分别为 SDF 和资产收益的条件波动率。

3. 实证估计方法

为了在实证研究中得到上述实时估计，我们需要估计，自然地，需要用到期权价格数据。

首先，可表示如下式：

此处需用到方差的定义（），以及，其中，为时刻的资产价格。

进一步，若存在到期的远期合约，则有：

其中，为上述远期价格。

因此，估计的难点在于等式右边的第一项，即计算平方合约（squared contract）的价格。

为此，我们先考虑如下的期权组合：2 份执行价格为 0.5 的看涨期权（call），2 份执行价格为 1.5 的 call，2 份执行价格为 2.5 的 call，依此类推。所有期权的到期日都为。下图中不同颜色的虚线直线画出了有不同执行价格的 call 的 payoff，而虚线折线则给出了这一系列期权组合的 total payoff，实线则给出了平方合约的 payoff.

可见，上述期权组合的 payoff 非常接近 squared contract 的 payoff，且在整数价格时是完全相同的。事实上，若我们分割更加精细并取极限，上述复制期权组合的 payoff 将与 squared contract 完全一致。

图 2: Squared contract 及复制组合的 payoff. 数据来源：Martin (2017).

严格来说，squared contract 的价格可以写作以下积分形式：

其中，为执行价为，到期日为的看涨期权在时刻的价格，而上述第一个等式由

对任意的都成立而得。

将上式以及前述远期合约价格的公式带入本节一开始关于的式子可得：

由此，我们便可根据期权交易价格和远期合约价格来估计股指的风险中性方差，并进而估计股权溢价。

但需要注意，在实际交易中，实值期权（in-the-money options）的交易通常非常不活跃，使得其价格往往滞后、不准确。因此，为了更准确地进行估计，根据期权的看跌-看涨平价关系（put-call parity），用对应的虚值看跌期权（out-of-the-money put）替换实值看涨期权。特别地，put-call parity 意味着：

于是可得：

资产收益的风险中性条件方差可简洁地表示为一组看涨和看跌期权组合的价格。显然，这是很容易实时进行的。

更为有趣的是，上述结果可以用图形非常直观地刻画。图 3 展示了有不同执行价格的看涨和看跌期权的价格曲线。而上述式子实际上就是图中两条价格曲线下方的高亮区域的面积。

图 3: 看涨看跌期权价格及风险中性方差估计示意图. 数据来源：Martin (2017).

当然，由于现实中我们没有一组连续的期权合约，只能利用离散的合约的数据进行近似，因此，多少会有一些误差。但这不重要。一方面，这一差异通常足够小，没有太大影响；另一方面，这一误差使得实际可得的离散近似始终会略低于上述理论值，因而进一步明确了该估计提供的是股权溢价的下界。

最后，需要注意，上述式子刻画的是资产从到期的累计超额收益，进一步将其除以标准化，便可得到对到期的股权溢价（下界）的估计（记作）：

4. 实证结果

为了便利，以 S&P 500 指数代表市场（因其有足够活跃的股指期权和期货合约）。表 1 报告了期限从 1 到 12 个月的估计结果。其中，所有收益数据均为年化值。

表 1：1 至 12 个月期限的估计结果描述性统计. 数据来源：Martin (2017).

可见，总体上为正，且有较大的波动，并呈现出右偏和尖峰厚尾的特征，尤其是短期的估计。随着期限拉长，均值也略微有所下降，而波动则显著下滑。

值得注意的是，1 月期的时序均值为 5.00%，非常接近已有研究对股权溢价的估计。这表明所提供的下界可能在大多数时候是紧的，即股权溢价刚好等于该下界。为检验这一假设，对不同期限（即不同的）进行下述线性回归：

即检验对对应期限的真实收益的解释/预测能力。若该下界是紧的，则我们不能拒绝的假设。表 2 的回归结果表明，在所有期限下都不能拒绝该原假设，从而支持该假设。

表 2: 关于提供了股权溢价的紧的下界的检验. 数据来源：Martin (2017).

更进一步，参照 Goyal and Welch (2008) 的经典方法，用样本外考察对股指未来收益的样本外预测能力。表 2 的最后一列汇报了相关结果。对于不同期限，样本外都为正，且随着期限变长而上升。更为重要的是，对于绝大多数期限而言，的样本外甚至高于样本内，进一步说明其预测能力的稳健性。

当然，也许您会说，以 1 月期为例，0.42% 的样本外看起来也不咋滴。但事实上，最近大量将机器学习方法应用于股票市场收益预测的研究都表明，这一其实并不低。特别地，由于此处实际上是时序预测，因此，较高的样本外可转化为更好的市场择时策略。例如，一个每天按照 1 月期成比例投资于 S&P 500 指数，并将剩余资产投资于现金的择时策略，在近 40 年的样本期内，可获得比市场本身高 45% 的 Sharpe ratio（日度 Sharpe ratio 分别为 1.97% 和 1.35%）。从以下累计收益图可以更直接地看到其显著差异：

图 4: 基于的择时策略与 S&P 500 指数的累计收益图. 数据来源：Martin (2017).

从这幅图中还可以直观地看到在第一小节中提到过的的一项优势：在 1990 年代末期，给出的股权溢价估计非常高，从而给据此进行投资的投资者带来了丰厚的回报。而估值比率类指标则在此时持续预测股权溢价会非常低，从而会导致投资者错过很好的交易机会。

事实上，从样本外来看，的确显著优于传统的估值指标。根据 Goyal and Welch (2008) 的研究，在 1976 至 2005 年间，用股利-价格比率（dividend-price ratio）、股息收益率（dividend yield）、盈利价格比（earnings-to-price ratio）以及账面市值比（book-to-market ratio）等估值指标预测市场收益的样本外都为负。

这一点似乎与已有研究有所冲突。但其实也不难理解。估值指标变化缓慢，因而通常对股票市场长期收益有较好的预测能力（例如 Shiller 提出的 CAPE），但对短中期市场预期收益则无能为力。相反，正好着力于此，更多地捕捉和刻画了投资自对市场收益的短期预期。为更好地比较二者的预测能力，理论上可以考虑计算两类指标对中期（例如 5 至 10 年）的股票收益的预期并进而进行比较，但由于这些中长期期权往往交易非常不活跃，因此，在实践中，可能难以有效估计相应的。

最后，如同表 1 所示，我们可以利用刻画不同期限的市场预期收益。因此，也可以在此基础上计算远期股权溢价，并将长期股权溢价分解为短期和远期等不同部分。详细的分解可参考原文 5.1 小节。需要注意的是一个非常有趣的结果。

图 5 绘制了根据及相关分解得到的股权溢价期限结构的时序图。注意 98 年金融危机和 2008 年全球金融危机（2000 年和 2010 年之前那两段非常高的时期）等危机时期，未来一年的股权溢价的绝大部分其实都集中在前几个月。这时往往正是流动性最为匮乏的时候，在此时买入市场，为市场提供流动性，便有机会快速兑现非常巨大的风险溢价。这正是“危机”的含义所在。

图 5: 与股权溢价期限结构时间序列图. 数据来源: Martin (2017).

5. 结语

本文介绍了 Martin (2017) 的主要内容。该文旨在构建一种可以实时估计的、无需任何会计、财务数据的、简洁明了的市场指数预期收益的估计方法。为此，作者通过联立资产定价的 SDF 和风险中性方法，巧妙地找到了股权溢价下界的估计方法，进而利用期权数据，得到了便捷、直观的实证估计方法。其实证研究表明：

该下界在大多数情况下是紧的，从而其不仅是股权溢价的下界，更是直接代表着股权溢价。
该估计有着显著优于经典的估值指标的样本外预测能力。
根据该估计，可刻画股权溢价的期限结构。在危机时期，未来 1 年的溢价主要集中在较短的时期内，在此时进行投资，为市场提供流动性，有机会快速兑现高额的风险溢价。

当然，Martin (2017) 的雄文还不止于此，作者还利用进一步估计了市场崩盘的概率，您若是感兴趣，可阅读原文第 6 节。

而更为重要的是，Martin 的野心不仅于此。在这篇雄文于 2017 年正式发表于经济学顶刊 QJE 的同时，Martin 还跟人合作，进一步研究了股票预期收益的问题。该文随后被金融学顶刊 JF 接收并于 2019 年正式发表。在理解了上述估计股权溢价的方法思路的基础上，再进一步理解消化关于股票预期收益的研究，就是很好的学习路径，无论对学术还是实践，都有着很好的启发。

全文完。祝您阅读愉快！

免责声明：本文在任何情况下都不代表投资建议。文中图表均来自相关文章、期刊，或互联网数据，版权归原作者和期刊所有，也不代表本公众号的意见。

References:

Campbell, John Y., and Samuel B. Thompson. "Predicting excess stock returns out of sample: Can anything beat the historical average?." Review of Financial Studies 21.4 (2008): 1509-1531.
Goyal, Amit, and Ivo Welch. "A comprehensive look at the empirical performance of equity premium prediction." Review of Financial Studies 21.4 (2008): 1455-1508.
Martin, Ian. "What is the Expected Return on the Market?." Quarterly Journal of Economics 132.1 (2017): 367-433.
Martin, Ian WR, and Christian Wagner. "What is the Expected Return on a Stock?." Journal of Finance 74.4 (2019): 1887-1929.

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