让我们从男神 Andrew Ang 2006 年的一篇经典文章说起。说起 Ang 2006，您可能会下意识想起 JF 那篇关于异质波动率的经典文章。但我们今天要说的是 Ang, Chen and Xing (2006)（ACX (2006)），发表在 RFS。
If an asset tends to move downward in a declining market more than it moves upward in a rising market, it is an unattractive asset to hold, because it tends to have very low payoffs precisely when the wealth of investors is low. Investors who are sensitive to downside losses, relative to upside gains, require a premium for holding assets that covary strongly with the market when the market declines. Hence, in an economy with agents placing greater emphasis on downside risk than upside gains, assets with high sensitivities to downside market movements have high average returns.
理解了下行风险有显著的正溢价，自然就可以考虑将经典的投资组合方法扩展至基于下行风险的模型，以获取更好的表现。近年来，随着 Ray Dalio 等大佬的观点日益流行，风险平价方法也受到了越来越多的关注。与经典的均值方差优化和股债 60/40 组合不同，风险平价方法旨在均衡配置风险，以构建在不同经济与市场环境下均可获得不错收益的、充分分散化的投资组合。由于聚焦于风险，这一方法也可以较好地应对难以准确估计资产期望收益而给经典方法带来的难题。但也正是聚焦于风险，选择何种风险指标便成为了影响风险平价表现的关键因素/选择之一。最常见的方法仍然是沿用方差（或波动率）来衡量风险。但如前所述，对资产风险溢价影响更大的可能是下行风险。不仅如此，资产组合的下行风险还直接影响着投资者的心理和投资选择：资产组合的下行风险越大，投资者往往更加难以忍受风险，从而更可能中途撤出而无法坚持长期有效的投资策略。因此，为了更为有效地管理投资组合风险，获取更好的风险调整后的表现，基于下行风险的风险平价（Downside Risk Pariy, DRP）便应运而生。Luo, Wang and Liu (2022)（LWL (2022)）对此进行了仔细的考察。为理解 DRP，首先来看标准的风险平价（RP）。假设共有 种资产，其收益向量为 。资产组合 p 持有上述 种资产的权重为 。则资产组合的收益（）和波动率（）分别为：RP 组合旨在使得每一资产对组合波动率的总风险贡献（Total Risk Contribution, TRC）相等，其中，TRC 为资产权重与资产的边际风险贡献（Marginal Risk Contribution, MRC）的乘积：其中，第二个等式由 MRC 的定义（）而得。由于 RP 要求所有资产的总风险贡献相等，因而，每一资产的总风险贡献都应等于资产组合波动率的 ，即：接下来看 DRP，即下行风险平价。首先，对于组合 p，下行风险如下：其中， 为 期的组合收益，而 为目标收益率。参照前述 ACX (2006)，最常见的设定是 等于过去 期组合的平均收益。但实践中更常用的是令 。此外，值得注意的是，ACX (2006) 关心的是股票的（系统性）下行风险，因此，主要关注下行 beta。而在这里的资产组合选择问题中，则主要关注的是与波动率相对应的下行波动率（也叫作“下行标准差”）。与经典的 RP 类似，DRP 旨在使得不同资产对下行风险的总贡献相等。因此，首先需要求出资产的边际下行风险贡献（MDRC）：其中， 为示性函数，当 期资产 的收益小于等于目标收益时取 1，反之则为 0：将上述 的表达式利用求导公式展开可得：值得注意的是，可以很容易证明，上式括号中最后一项始终为 0，因此，上式可以简化为：若按照惯例假定为外生的（例如，），则 。在此基础上可得，资产的总下行风险贡献为：鉴于上述 的复杂性，为求解 DRP 模型，不再要求资产总风险贡献严格相等，转而借鉴 Maillard,
Roncalli, and Teïletche (2010) 的处理，最小化不同资产总风险贡献差异的平方和：其中， 是元素都为 1 的向量。换言之，上述优化问题表示在卖空约束下最小化资产 TRC 差异的平方和。此外，值得注意的是，DRP 方法关注的是资产对组合下行风险的贡献，而非资产下行风险的加权平均。这里的关键差异在于资产间的相关性使得对于特定的资产组合，某些资产较大的下行风险可能被其他资产同期较好的表现所抵消，从而资产组合的下行风险并不会很大。实证结果也表明，考虑资产组合的下行风险，可以获得更好的表现。以包含欧美发达国家和新兴市场股票、大宗商品和不同类型债券在内的9 种代表性资产为例，LWL (2022) 仔细考察了 DRP 的表现。表 4 报告了 9 种资产在样本期内的描述性统计和相关系数。可见，样本期内，新兴市场股票（EM）的收益最高，波动也最大；美股（SPX）的收益也不错，Sharpe ratio 则在股票资产中最高；欧洲股市（EAFE）则稍逊一筹；不动产（RE）收益不错，但波动率较高，从而风险调整后表现也不是非常理想；大宗商品（COMM）长期表现不佳，波动率还非常高。债券普遍表现不错，长期债券（LTB）和高收益债（HYB）的表现尤其好，政府债（BOVT）表现也不错，而投资级债券（IGB）的表现则不甚理想。值得注意的是，投资级债券的 DR Ratio，即下行方差与方差之比，显著高于其他债券资产，甚至还高于股票和大宗商品。表 4：9 种资产的描述性统计和相关系数. 数据来源：LWL (2022).表 5 报告了不同资产组合方法的表现。Panel A 表明，DRP 方法的的月均收益略高于 RP，以及仅考虑资产下行风险的 NCOV，和简单按照波动率倒数配置权重的 naive RP（NRP），并远高于最小方差组合（MINV）。收益高于 DRP 的仅有等权组合（1/N），但差异也非常小。与此同时，等权组合的波动率（Vol）和下行波动率（SVol）远高于 DRP，使得从风险调整后收益的角度来看，DRP 组合显著更好。由于采用基于下行风险的方法的一大动机是更好地管理下行风险，因此，为检验方法的有效性，还应着重考察危机时期的组合表现。Panel B 便报告了 2008 年金融危机前后共 3 年期间不同组合的表现。可见，DRP 仍然有着最好的表现，而等权组合的 Sharpe ratio 接近 0，最小方差组合在此期间的超额收益甚至为负。表 5：不同资产组合方法的表现. 数据来源：LWL (2022).在此基础上，LWL (2022) 还做了更深入的分析，以更好地理解 DRP 和 RP 组合的差异，以及 DRP 和 NCOV 组合的差异。简而言之，前者与资产的下行风险和风险之间的差异有关，而后者则与 NCOV 组合主要关注资产同时下跌的风险有关。此外，一系列稳健性分析表明，考虑交易成本、利用不同窗宽估计下行风险等都不影响上述主要结果。进一步的分析还表明，不仅对大类资产配置，对于股票（指数）资产的配置，DRP 方法也是有效的。
3. 结语
下行风险的重要性常常被忽视。但 ACX (2006) 将其摆到了一个应有的位置。此后，不断有研究对 ACX (2006) 进行拓展，并更为细致地考察下行风险的资产定价含义。总体来看，虽然一些新近研究已经转向认为 ACX (2006) 在理论上存在不足，但这些研究在理论上都延续了 ACX (2006) 采用的失望厌恶（Disappointment Aversion, DA）的视角来构建理论模型。与此同时，下行风险对于资产组合管理的重要性也在近年来逐渐受到重视。除本文介绍的 LWL (2022) 关于下行风险平价的研究，还有非常类似的，基于下行风险的波动率管理组合也受到了不少关注。波动率管理组合（参见【057】波动率管理：Yes or No?）其实就是 naive RP，但更多用在股票与因子上。基于下行风险的波动率管理策略也可以进一步改善组合表现（Qiao, Yan and Deng, 2020; Wang and Yan, 2021）。值得注意的是，RP 与 DPR 由于考虑了资产间的协方差，如果直接应用于有着大量资产的股票，则不一定有很好的表现，而能直接应用于股票，则刚好是波动率管理组合的优势。但如果能结合资产定价中的新近研究，则 DRP 仍然有机会得到较好的表现。此外，已有研究还发现，从下行风险出发，可以帮助挑选有更好的主动管理能力的基金（下行风险择时，Bodnaruk, Chokaev and Simonov, 2021），这对于基金投资者和 FOF 管理人员来说也很有帮助和启发。当然，基于下行风险可以做的东西不止于此。还有不少内容可以挖掘并进而用于指导实践。我们也有在持续做一些相关的研究，后续也会进行更多的梳理和介绍。 全文完。祝您阅读愉快！免责声明：本文在任何情况下都不代表投资建议。文中图表均来自相关文章、期刊，或互联网数据，版权归原作者和期刊所有，也不代表本公众号的意见。References:Ang, Andrew, Joseph Chen, and Yuhang Xing. "Downside risk." Review of Financial Studies 19.4 (2006): 1191-1239.
Ang, Andrew, Robert J. Hodrick, Yuhang Xing, and Xiaoyan Zhang. "The cross‐section of volatility and expected returns." Journal of Finance 61.1 (2006): 259-299.
Bodnaruk, Andriy, Bekhan Chokaev, and Andrei Simonov. "Downside risk timing by mutual funds." Review of Asset Pricing Studies 9.1 (2019): 171-196.
Luo, Ronghua, Haohan Wang, and Weiyi Liu. "Downside risk-parity portfolio." Journal of Portfolio Management 48.4 (2022): 261-281.
Qiao, Xiao, Sibo Yan, and Binbin Deng. "Downside volatility-managed portfolios." Journal of Portfolio Management 46.7 (2020): 13-29.
Wang, Feifei, and Xuemin Sterling Yan. "Downside risk and the performance of volatility-managed portfolios." Journal of Banking & Finance 131 (2021): 106198.
