表内除法单元整体说课

多元表征 建构模型 理解运算本质

——表内除法大单元课程设计

    研究背景

  基于核心素养的小学数学单元整体教学，是在大观念和整体教学思想的指导下，以培养学生的学习能力、发展学生的核心素养为目的，根据教学内容在结构上的联系，把握数学的本质和蕴涵的数学思想，对教学内容进行统筹组合，构建整体结构更加优化的教学单元，并由此开展单元教学整体设计与实施，从而突出学习能力与核心素养的培养。我将青岛版（五四制）教材小学二年级上册《除法的初步认识》和《表内除法》两个单元进行大单元整合，下面我将谈谈对本单元课程整体设计的思考与探索。

  一、研读课标，明确课程设计方向

    （一）课程标准关于《表内除法》单元的学习要求

  《表内除法》是“数与代数”第一学段的内容，涉及数的运算与数量关系，查阅新课程标准关于《表内除法》单元关于数的运算要什么、学到什么程度和怎么学整理如下：

（1）数的运算

（2）数量关系

  （二）《除法的初步认识》和《表内除法》编排内容所对应的核心素养

  （三）主要发展的核心素养

  本单元发展的核心素养较多，主要培育的关键素养是模型意识和运算能力。

模型意识的含义：对数学模型普适性的初步感悟。在本单元中主要表现：

  1.知道除法是记录生活中平均分问题的数学表达。

  2.能识别出哪类问题能用除法解决。

  3.能根据除法算式讲出生活中不同的数学故事。

  运算能力的含义：根据法则和运算律进行正确运算的能力。

  在本单元中主要表现：

  1.能够明晰除法运算的对象及意义，也就是能把平均分的问题用除法算式来表示。

  2.能够根据乘法口诀熟练求。

  二、研读教材，明晰课程设计内容

    （一）教材结构编排及问题分析

  “表内除法”所包含的除法的概念、用 2—9 的乘法口诀求商以及解决问题三大部分内容是一个密切联系的整体。现行青岛版二年级上册分为《除法的初步认识》和《表内除法》两个单元进行教学。编排结构图所示：

  按照教材结构编排一课时一课时的教学，主要存在三个问题

    （二）教材的纵向分析

  表内除法是学生学习除法运算的开始，从知识的结构和联系上看，它是认识了100以内的加减法、乘法的初步认识及掌握了乘法口诀基础上展开的，是后续学习两位数除以一位数、除数是两位数的除法、小数除法和分数除法和比的重要基础。理解除法意义，学会用乘法口诀求商，为以后有余数的除法、多位数的除法、小数除法和分数除法打下基础。具体表现在两个方面:一是为所有的除法运算打下算理基础和理论支撑，二是为运算能力的发展提供口算基础，因此它是除法学习的种子单元。

   （三）教材的横向分析

  通过对比青岛版、苏教版、人教版、北师大版四个版本的教材中的关于本单元的内容，我们发现在它们的编排特点和单元目标有许多共同之处：

  对比四个版本的教材，我们发现，关于“表内除法”的编排，分为三个层次：一是结合具体情境理解除法的基础平均分，二是在理解平均分的基础上初步理解除法运算的含义，三是运用除法解决简单的实际问题。

  （1）平均分的含义

  关于平均分的含义，即是每份分得同样多。从平均分的操作过程来看，存在两种不同的情况：（等分）和（包含分）。两者的本质是一致的，都是把一个整体平均分成了若干相同的部分。

  （2）关于除法运算的含义

  首先让学生体会到是平均分的活动，再学习用除法表示，并结合“÷”的使用，加深对除法含义的理解。重点是借助平均分理解除法运算的两种模型，从“总数”“份数”“每份数”三个数量中，识别哪两个量是已知的，哪个量是未知的，并据此来区分平均分的两种情况。

  （3）关于解决实际问题

  要根据除法的本质含义分析数量关系，经历问题解决的过程，通过独立思考，动手画一画等方式分析问题，构建解决问题的思路和方法，重视比较、概括与提升，感悟推理的思想，积累分析解决问题的思考经验。

  三、学情分析，把握教学重点

  （四）教学启示

  在表内除法单元整体重构中，要借助具体问题情境完整呈现平均分的两种分法，深入理解除法的意义；着重让学生动手操作，体会平均分的过程以及得出分的结果，引导学生多元表征，沟通之间的关系，深入理解平均分：帮助学生从对平均分的模糊认识达到清晰的数学认识，并在分的过程中感知平均分与减法、除法之间的联系，从而在解决除法相关问题中更加透彻理解除法的含义，构建除法运算的模型，感受除法与实际生活的关系。

四、基于学生，制定单元课程目标

   （一）基于以上分析，制定单元目标如下

  1.结合平均分的具体情境，经历出发产生的过程，沟通各种表征之间的关系，理解除法运算的意义。

  2.经历用乘法口诀求商的探索过程，体会除法和乘法、减法之间的联系，理解除法是乘法的逆运算，发展模型意识和运算能力。

  3.会用画图、语言描述等方式表征理解问题问题和分析问题的过程，感悟模型思想，能运用四则运算的意义解决简单的实际问题。

   （二）单元核心概念及关键问题

五、基于素养，实施单元课程重构

  （一）表内除法单元课程重构的思考

  1.原教材关于除法运算含义的理解共安排了7个例题、7个课时。这样的安排不利于学生整体理解平均分的含义，有可能会让学生对等分除有先入为主的印象，不利于对包含除的学习；容易忽视等分与包含的联系与区别。

  因此这部分内容的整体教学有以下几点思考：

  ①将平均分与除法的两种模型放在一节课认识，建立平均分与除法的联系，即除法就是将平均分的过程和结果用算式表示出来的方法。

  ②通过动作—图式—语言—符号等多种表征，加强算式与平均分过程和结果的对应。

  ③通过两种模型的对比，突出除法的本质及贯穿整个单元的数学思想，从而促促进学生数学学习能力与核心素养的发展。

  2.关于用乘法口诀求商和解决问题部分，用每句乘法口诀求商，都是根据除法与乘法的联系，运用乘法口诀进行推理，得到除法的商，思维方法都具有本质上的同一性，因此将教材中用2~9的乘法口诀求商整合成一个课时，重点突出乘法与除法的联系。将两个单元中的解决问题进行整合，通过图形表征和语言表征，把数量关系的分析与除法的意义联系起来构建除法模型。

  基于以上思考，将“除法的初步认识”和“表内除法”整合为“表内除法”，在每个新知学习后都可安排一节练习课。下表是重构后的单元教学结构及安排：重构后分为以下四个主题：我会分、我会算、我会用、我会理，对应的教学内容分别为《除法的意义》《求商方法探一探》《解决问题》《表内除法整理与复习》。

   （二）新授课的内容目标和所对应的水平层次如下表

   （三）单元教学活动设计的思考

  单元课程教学活动的设计应注意转变学习方式，突出自主探索，注重感悟数学思想，将发展学生的核心核心素养的教学目标落实到单元教学活动中去。

  1.突出概念的多元表征

  除法的概念是通过对物体的两种方法体现出来的，平均分是支撑两种分法的本质概括。将平均分两种分法与除法联系起来，特别是清楚把握两方法的区别和本质上的联系，有助于学生认知结构的发展，形成清晰的概念表象，建立除法的概念。由于这些概念具有一定的抽象性，低年级学生理解这些概念的本质存在困难，因此应设注意设计动手实践、多元表征的教学活动，促进学生对概念的深度理解。

  （1）加强操作表达，外化思维过程。在教学平均分和除法的概念时，要让学生在亲自参与分物品的操作活动中感悟平均分的本质，帮助学生对平均分和除法的认识由感性向理性发展。具体讲，注意操作题材的多样化，让学生在分水果糖、分柑橘、分果冻等不同题材、不同分法中感受到这些分法的共同特点，把握平均分的本质。

  （2）实施多元表征，深度认识平均分。在建立平均分和除法的概念时，要注意数形结合，在操作的基础上让学生用画图、语言、算式等多种形式，表达对平均分的过程与结果，以及除法的意义的理解，促进学生深度把握其内涵，清晰建立平均分和除法的概念。

  （3）突出本质联系，建立除法的概念。平均分是两种分法的本质概括，是建立除法的概念的基础，而两种分法是除法的意义的全面体现。因此，在建立除法的概念时，一方面以分竹笋的操作活动为基础，体会分与除的关系，有意识地将平均分与除法运算联系起来，逐步在第一种分法中初步抽象出除法的概念。另一方面，通过第二种分法的操作，进一步强化平均分与除法的联系，让学生感受到用两种方法都可以用除法来表示，从而实现对除法的全面认识。

   2.注重知识的关联迁移

  表内除法的单元整体教学应注意引导学生把握概念的本质，注意有关知识之间的联系，引导学生将已有知识经验顺利迁移到新的学习中，去促进学生的自主学习，培养学习能力。

  （1）突出减法乘法知识在用乘法口诀求商中的迁移。

  一方面突出除法与减法的联系，让学生根据减法的经验，理解被除数、除数与商之间的关系。在教学《用乘法口诀求商》这一课时，可以通过连减的方法让学生认识到“12连续减去4个3正好分完”，因此12里面有4个3，所以是12÷3=4。另一方面要突出除法与乘法的联系。可以突出“12个桃”，“每只小猴分三个”、“分给几只小猴”等数量之间的关系，让学生明确3×（ ）=12与12÷3=（ ）都可以表示12里面有几个3，由此将乘法与除法联系起来。

  （2）突出除法的意义在解决除法问题中的迁移。

  除法的实际问题，需要除法的概念作为支撑学生才能顺利将除法迁移到问题解决中去，从而促进问题的正确解决，培养迁移学习能力。具体讲，一方面应注意让学生将除法的意义迁移到问题理解中，唤醒学生对除法两种不同分法的表象，感知问题情境与除法之间的本质联系。另一方面引导学生将除法的意义迁移到问题分析中去，通过除法结结构去寻找数量关系，构建解决问题的方法，培养分析问题和解决问题的能力。

  例如在教学乘法口诀求商时，学生阅读到“把15只蚕宝宝平均放到三个纸盒里”时，头脑中呈现出的是把15只蚕宝宝平均分成三份的表象，读到“15只蚕宝宝，每个盒子放5只”时，头脑中呈现出的是把15只蚕宝宝按每5只分成一份的表象，并进一步想到15只蚕宝宝，平均放到三个纸盒里，每个盒子放几只，就是把15平均分成三份，用15÷3解决，而15只蚕宝宝每个盒子放5只，需要放几个盒子，就是把15按每5个分一份可以分成几份，可以用15÷5解决。

  （3）设计大问题，扩大自主学习的思维空间。

  培养学生的学习能力，还应注意设计具有思考空间的大问题，具有思考空间的大问题是教学中重要的核心的问题，具有一定的思维难度，有助于培养学生的思维品质，因此在表内除法教学中，应注意通过大问题的设计促进学生思维能力的发展？例如在教学解决问题时，先让学生独立画图分析题意、汇报算式，然后对算式抛出具有思考空间的大问题：说一说你是怎样想的，然后通过生生之间的交流质疑及教师的点拨提升，帮助学生明确这样的问题，为什么要用除法计算算式当中的各部分分别表示什么意思以及整个算式的含义。

   3.强化过程的体验感悟。

   发展学生核心素养，需要学生经历知识的形成过程，获得对探索知识过程和方法的体验，从中感悟蕴含在知识背后的数学思想，积累思考问题的活动经验。

  （1）让学生运用多样化的学习方式，经历知识的形成过程，感悟知识的本质。例如在认识平均分时，一方面让学生动手实践分柑橘等操作活动，并交流展示不同的分法，另一方面注意独立思考与合作交流，让学生在不同分法的自主交流中思维得到碰撞，明确认识到无论分什么，无论分多少个，只要每份分得同样多就是平均分，从而清晰建立平均分的概念，感悟数学抽象思想。

  （2）让学生在体验感悟中表达思考过程，感悟数学推理。例如认识平均分时，当学生建立了平均分的概念后，让学生运用平均分的概念分析判断各种分法哪些是平均分，哪些不是平均分，并说出自己的理由。学生经过独立思考，将分析判断的思维过程表达出来，推理能力得到培养，初步体验数学推理思想。再如学生探索12÷3的思考过程，也就是根据乘除法的联系，运用乘法口诀推理的过程，让学生在独立思考后表达思考的过程，逻辑推理能力得到培养，进而感悟数学推理思想。

（四）具体课例的教学设计

下面是我对新授课总体框架的设计，以及对“除法之平均分”的具体展开。

（一）整合课的总体框架

1.【除法之平均分】

2.【除法算式的秘密】

3.【求商方法探一探】

4.【解决问题】

5.【粗心的诺一】

 本文参考邵汉民老师著作《小学数学整体设计的思与行》。