今天的题目相对简单一些，是前两天竞赛班学员问的问题：一个微积分和一个线性代数，虽然题目不难但是也需要一点点小技巧，或者说一点“感觉”，比较考验大家的基本功，很适合考研的学生拿来训练
基本功扎实的同学，应该在15分钟内解决这两道题目，最慢不应该超过20分钟，而如果这两题你做不出来，就说明你现在有很严重的问题，这边建议来竞赛班系统学习一下，否则你不管是今年11月的CMC，还是今年年底的考研数学，都很容易翻车，考完再后悔就晚了！
值得一提的是，昨天学员表示题目2的答案看不懂+想不到，感觉莫名其妙，真有这么难吗？我教你最自然的处理方法！
问题
题目1
设是正定阵，证明：存在唯一的正定阵使得
题目2
给定正整数，计算以下的阶导数，其中
先来分析一下，题目1一眼望去存在性是显然的，因为代入对角阵就结束了，而唯一性或许看不出来，比较明显的如果都是对角阵，那么从的单调性可以知道是唯一的，一般情况下好像需要进一步处理
当然，我们从这里也能有个感觉：只要多项式或者解析函数在时是严格单调的，那么对正定阵，就会存在唯一的正定阵解，注意这里是在限定正定的条件下存在唯一解，而不是说仅有一个方阵（不加约束）使得
再看题目2，观察被积函数的结构，很明显直接分部积分，若干次之后就直接把算出来了，那我们就尝试一下分部积分，看这样到底能算出什么东西
在此之前先抨击一下上面的标答方法，很垃圾，非常垃圾，莫名其妙，不符合正常人的脑回路，建议自己把题目做一遍，或者看我们下面的方法，像上面书上那个神必的解法，直接忽略就行了
解析
先看第一题
设是正定阵，证明：存在唯一的正定阵使得
先看存在性，注意问题在同时正交相似变换之下，条件和结论都不改变，所以我们不妨设
现在直接（待定系数）设也是对应的对角阵，注意函数是单调递增的并且值域为，所以会有唯一的正根，记为，那么
即为所求
再看唯一性，若不然，我们有两个正定阵使得，设标准型，其中是正交阵
并且满足
代入得到
这说明，和对角阵相似，同时也和对角阵相似，所以两个对角阵，相似，也就是说
自然这两个矩阵具有相同的特征值和重数，根据的单调性可知也就是说
进一步设
相应的有，要证明也即
设分块矩阵
代入可知，要证的就等价于是分块对角矩阵
再看条件，，所以
注意是分块对角阵，并且
结合单调性以及正数两两不同可知是分块对角矩阵，唯一性得证
注意，本题虽然证明了也即，但是推不出，也确实可以是两个不同的矩阵，因此从证明的角度来说明唯一性，一定是错的
来看第二题
给定正整数，计算以下的阶导数，其中
换元可知
方便起见，记
则有
分部积分有
注意后面括号里的东西，是一个次数不超过的多项式，所以求阶导之后，会变成零
现在我们就求出来，直接求次导数可知
结论得证
你看我这样做是不是就很自然，我们知道原函数肯定能求，所以就先尝试分部积分算一下，很快就发现了规律并且可以一直分部积分下去，于是算出来了便于求导的的显式表达式，然后直接完成证明
你喜欢我这个直接计算的方法还是答案那种奇奇怪怪的方法呢？难怪学生反馈说书上标答看不懂，不是正常人的正常解法
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作者：柯西永远爱你
