今天的题目出自于CMC组委会（官方）出的最新的指导书《全国大学生数学竞赛真题解析与获奖名单》中的数学类CMC模拟卷，整张卷子中只有最后一题有点意思，也是我们今天主要要讲的东西
这是一本专门针对全国大学生数学竞赛的备考指南，现在距离考试还有50天，自然我们应当重视其中的一些题目，或许今年的CMC就是这样的风格
简单点评一下这份试题：这张卷子虽然说是数学类，但是纯粹就是搞笑的，因为实在是太水了。。。
第一题就是高考题，高中我们就知道切线方程公式，随便做
第二题直接考虑发现这是一个单调递减的函数，注意于是秒了
第三题高代更是搞笑，设代入就变成，然后两边乘以取迹，直接得到结束，既然让你求秩，那可能的结果就是这三个，没有别的，又显然是解，所以做出来这个结果情理之中
第四题第一问直接走圆盘定理，或者解线性方程组都是秒杀，第二问例子很多，随便待定系数就能找到一个二阶的实对称矩阵作为反例
第五题很明显只需要验证处是任意阶可导的，这很简单，直接用皮亚诺余项的泰勒展开就行了，秒杀
前五个题理论上都是扫一眼就能秒的水平，白给的题，最后一题则还是有点意思也比较新颖，并不是显然的，下面我们就来讲一下
问题
设并且恒正，满足，证明：存在正整数序列使得互素，并且记，还能满足：
(1) 单调递增趋于正无穷，(2) 序列中任意不同的两项，其比值都不是整数。
先来分析一下，这题一眼看上去莫名其妙的，条件相当于是给了在附近的信息，形象来看，可以将其视为，但是好像没什么用
条件里面有一个互素的要求，这种奇奇怪怪的约束其实没啥意义，属于是没活了硬整......既然如此我们直接取为素数，反正素数无穷多个，然后再让从往下取，就干掉一个条件
抛开，我们直接看条件(1)(2)，自然要思考一个问题：
如何构造一个严格单调递增趋于正无穷的正数列，使得其中任何两项的比值都不是整数？
这种事情明显要归纳构造，就是说在定义好之后，怎样找使得都不是整数呢？
下面跟我的思路来画个图你就知道了（公众号上没法打公式画图。。。请自己动手或者脑补一下），如果你想明白了，看完这个分析就做出来了
形象的来说，对于，它的所有正整数倍对应了很多分点，同样看，它的正整数倍也对应了很多分点，当然这些分点互相是可能重合的，且不说后面的，我们关注以上两个分点序列，如果某一个数字，卡在某两个分点之间（这两个分点之间没有别的分点了），那么自然都不是整数
这些分点很多，并且是离散的，所以在数轴上其实有非常非常多的这样的“两个分点之间”构成的区间，任何一个这样的区间之内，你任选一个数字，都能够满足相应的比值不是整数
现在回到的情况，我们前面已经构造好了个点，那么的所有正整数倍对应一系列分点，的所有正整数倍对应一系列分点，一直下去，的所有正整数倍对应一系列分点，然后我们考虑大区间，随便指定一个大区间，在这个开区间中，有若干个的倍数对应的分点，若干个的倍数对应的分点，一直到若干个的倍数对应的分点
显然区间中的分点总数量是有界的（并且这个上界与无关！），因为区间长度就，如果设其中有个的分点，那么也就是说，所以其实在任何一个大区间中，前面那些对应的分点的总个数，一定不超过
在这个区间中，如果把最大的点记为，最小的点记为，注意是最小的，则
于是，自然我们一开始就应该不妨设以省的出现麻烦
注意这个区间中至多有个分点，并且与无关，而且是最小的，最大的分点，所以我们如果将这些分点从小到大排列，考察所有的相邻的两个分点之间的距离，这些距离（至多个数字）的最大值记为，那么
这是一个与无关的常数！
现在记且和无关，则在每一个区间中，都存在一个长度不小于的子区间，使得我们在区间中任取一个数字作为，都能够使得
均不是整数
这是一个比我们最开始预想的归纳结果要强很多的结果
到了这里之后，自然归纳需要的结果就得到了，下面回到上，来进行第二步
如果都已经取好了，并且要求，那么根据前面的分析，存在使得在每一个区间中，都有一个长度不小于的子区间，满足在中任取一个数字作为，都有
均不是整数我们取为很大的素数，然后逐一检查一直到，考虑相应的
那么（不妨）相邻项的差距
是很小的（我们可以取充分大的使得这些差值全部都不超过），并且首项为，末项大概为比首项大了很多，至少是大了，我们干脆取素数充分大使得，这样就能保证区间
中至少完整包含某一个区间，自然也就包含了这个区间中的长度不小于的子区间
于是从往下取直到的过程中，总会有一项，这就是需要的！记为即可
以下是解析，结合上述分析过程，我就稍微跳点步骤了，因为关键内容上面已经讲了原理，而且是严格的证明
解析
设并且恒正，满足，证明：存在正整数序列使得互素，并且记，还能满足：
(1) 单调递增趋于正无穷，(2) 序列中任意不同的两项，其比值都不是整数。
不妨设，记，根据条件，存在使得任意都有，于是这个区间内都是严格单调递增的
我们证明：
存在一列严格单调递增的素数和正整数序列，其中，并且满足同时序列中任意不同的两项比值都不是整数
任取一个素数，记，下面归纳构造，假设已经找到了，下面来构造
记
则对任意正整数，在区间中，都存在长度不小于的子区间（开区间），使得区间中的任何一个数字，都不是中任何一个的整数倍
上面这一步来自于前面的分析，在分析部分，已经给出了严格证明，此处不再重复
因为且连续，所以存在使得
现在我们取充分大的素数，使得
然后逐一考察根据中值定理
所以
注意
所以
这说明，在开区间
中，至少包含了某一个完整的开区间，进而包含了某一个长度不小于的开区间，且中任取一个数字，都能够满足：它不是中任何一个数字的整数倍另一方面，区间
从左至右依次包含了这些点，并且任何相邻两点的距离不超过，所以必定存在某一个点，记为，这就是我们需要的，归纳构造结束
结论得证
结语
可见本题还是比较直观的，解题思路我下午就在竞赛班里面讲了，只是完整过程写起来比较麻烦而已
所谓的书后官方答案写的就是依托答辩，不忍直视，乱七八糟的，考试大概率没分，千万不要模仿！ 这题简直就是在考语文，人为设计了很多“坎”让你不得不花点功夫去细化你的构造，这种东西实在太烦人了，写过程堪比写高考作文。所以我说：这套CMC数学类的压轴题，其实就是在考语文，和数学关系并不大！
本题的完整标准解题步骤（上述过程没有整合“区间”相关部分的证明）可以报名竞赛班获取，在这里就不展示了，作为竞赛班内部资料，我会写的更清楚和通俗易懂一些，也会解释每一个想法都是怎么来的。
最后留一个思考题：能否将题目中(2)的约束里面的“不是整数”改为“不是有理数”？很明显这样改完之后上面的方法就过不去了，那么结论是否正确，留作习题
可以表述如下：
设并且恒正，满足，证明：存在正整数序列使得互素，并且记，还能满足：
(1) 单调递增趋于正无穷，(2) 序列中任意不同的两项，其比值都不是有理数。
本解法为我（数海钓鱼）原创，搬运请注明出处，尊重版权，抵制抄袭！
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作者：柯西永远爱你
