今天的题目是昨天竞赛班学员问的一道看起来奇奇怪怪的函数性态分析问题，学员表示答案的方法很奇怪，想不到
真有难度吗？来看我们是怎么用正常思维做出来的
问题
设可导函数定义域为，，并且当时总是成立
证明：恒为零.
分析一下，看上去整个题目里面出现了三个绝对值，莫名其妙的，有个绝对值在这里会搞的你求导操作进行不下去，而且去掉绝对值符号还要讨论正负，就让你很难下手，似乎......
其实很简单，对于绝对值的情况，直接平方就行了，我们可以先形式推导一下，假装条件恒成立
你看这式子能对吗？导数不超过于是它可以被控制住，并且，矛盾不就来了么
所以我们把这个过程严格化就行了
解析
设可导函数定义域为，，并且当时总是成立
证明：恒为零.
反证法，则存在一点使得，不妨设并且，根据连续性，在附近都恒正，考虑附近的恒正的最大区间，注意，所以这个区间向左最多到，于是存在使得在开区间中恒正，并且
注意条件的不等式成立需要，而未必在这个范围内，但是根据连续性可知存在使得在区间中恒成立，并且，当然可以不妨再要求，反正问题是局部的
现在我们在开区间中考虑问题
设，则有
根据条件有
再令，根据条件可知
取，则是一个确定的数字，因为，所以存在使得，但是根据拉格朗日中值定理可知
这就导出了矛盾，所以恒为零
这个方法怎么样呢？是不是非常正常和直观，随便求个导就出来了，其实面对还有绝对值的微分不等式问题，通常平方一下就能解决问题，不仅克服了绝对值不可导的问题，还能完美利用条件，这并非巧合，而是通法！
你学会了吗？考试必考内容！
本解法为我（数海钓鱼）原创，搬运请注明出处，尊重版权，抵制抄袭！
觉得我讲的好，想要看清题目本质，用初等方法和同济高数知识解决一切难题，就来报名我们竞赛班学习吧。
您来，我们有系统的课程和细致而深入的答疑，包教包会，让你轻松拿到国二实现复旦兜底，而如果您不来，那我就只能尽力培养您的竞争对手了，给你上点强度！
要知道，现在我们竞赛班总学员数量已经过千，并且我们学员有着极高的省一和决赛比例，这“上的强度”或许不是一点半点。
为了帮助大家高效备战今年11月初的16届全国大学生数学竞赛，我们推出了三期针对性的强化训练课程，同时包含数学类与非数培训，三期内容没有交集，重复率为零！
第一期主要讲解高等数学（或数学分析、高等代数）上册内容；
第二期则主要讲解高等数学（或数学分析、高等代数）下册内容；
第三期课程优先讲解前两期没讲到的必要的内容，然后针对竞赛考察的重难点题型，方法等，做专项讲解和训练。
报名方式及入口：三期课程联报即可享受巨额优惠！扫码报名，立减45元，到手价仅需700（早报名早享受答疑，越早报名越实惠）
课程特色：《低观点下的高等数学》，通俗易懂，用初等方法解决一切难题。服务包括108小时视频课+回放+800页讲义+全天实时答疑，除答疑外其余永久有效（白菜价课程，平均一小时只要五块钱）。
注意：上一次的三期联报优惠90活动已经结束，如今的限时优惠（再次强调，限时优惠！）活动为三期课程联报立减45（不与其他优惠叠加）。如果你之前没有报名过我们的课程，现在扫描上方二维码报名就是最大的优惠方案；如果你是老学员，则可以私聊我领取30元优惠报名新的课程。
在今年CMC结束后，我们这三期课程也将全部结束并停止报名（即便是回放和讲义也不再售卖）！此后今年的三期课程将成为永久的绝版课。
课程海报
三期课程的完整介绍可以看往期推文第三期竞赛班正式启动！高三毕业生限时优惠，也可以扫码进入CCtalk端查看。
为了给广大学生提供一个交流数学的平台，我们创立了“数海考研竞赛交流群”，进入该群无需报名任何课程也无需付费，扫码即可加入。欢迎大家来这里探讨数学问题，群内大佬云集，此外还有丰富的学习资料等你来拿！
2群(已满)
3群(已满)
4群(空闲)
扫描二维码
关注“数海钓鱼”
获取更多精彩内容
本期内容到此结束，感谢阅读。
作者：柯西永远爱你
