今天来讲两道有意思的题目，出自于去年的河南赛区数学类CMC复赛，河南那边的制度和其他地方不太一样，他们是先考全国统一的CMC初赛卷子，然后对于初赛排名靠前的一部分人单独再组织一个省级复赛，以此来选拔去参加决赛的学生，不像其他地方那样是通过一个全国统一的初赛直接选拔的，因此就有了“河南省复赛”这样一个东西
昨天竞赛班学生问了里面的6,7这两道题，看上去还是非常新颖的，应该也是这张卷子里面最难的压轴题
压轴题是什么水平？我一来，全秒了！
其中第六题应该是一个经典模型的改编，好像是什么那个，第七题则有更一般的结论，我们后面说
问题
题目1
设在中连续且，证明：对任意，都存在使得或者，并且.
题目2
设是二阶有理数方阵，并且，判断是否存在这样的使得其各个元素之和为，若存在请给出一个具体的例子，若不存在，请说明理由.
第一个题这种很明显就是反证法，不要老想着从几何上面去做，好像你这个函数画出来是一个形如这样的抛物线图形，然后拿一条线去截这个图像，对应的取值就连续的从0变化到1，这样能说清楚吗？你不管怎么“优化”都说不清楚
连续函数很重要的一个性质就是最值，所以矛盾点我们也要关注它
至于第二个直接构造就完事了，attention is all you need！
解析
题目1
设在中连续且，证明：对任意，都存在使得或者，并且.
方便起见，不妨设
考虑以及
则有于是并且都是连续函数
我们要证明的是或者在定义域内有零点，这样我们将括号内的东西分别记为就可以了，满足条件
反证法，如果都没有零点，不妨设，于是在定义域内恒正，而，所以在定义域内也是恒正的，因此
为了导出矛盾，现在看的最值点
如果的最大值是正数
设是的最大值，看的位置，如果，则与最大值矛盾，而如果则取，相应的有与最大值矛盾，综上这种情况不成立
如果的最小值是负数
设是的最小值，看的位置，如果，则与最小值矛盾，而如果则取，相应的有与最小值矛盾，综上这种情况不成立
所以的最大值和最小值都是零，也就是说恒为零，那么也都恒为零，显然矛盾
这就证明了原题
题目2
设是二阶有理数方阵，并且，判断是否存在这样的使得其各个元素之和为，若存在请给出一个具体的例子，若不存在，请说明理由.
不细说了，一句话：注意到
因此结论是肯定的，确实存在这样的二阶有理数矩阵，甚至还是整数矩阵，结论加强了很多！
顺便把本题的结论推广一下：
给定整数，设是二阶整数方阵，并且，证明：若为奇数，则存在满足条件的使得的元素之和为，而如果是偶数，则不存在这样的.
证明略，留作习题，证明奇数有解较难
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作者：柯西永远爱你
