今天的题目是前几天竞赛班学生问的，来自于往年的河南省CMC复赛压轴题
明天就是今年的河南省复赛了，直接决定考生是否有资格参加全国决赛，这也是国二复旦兜底路线中至关重要的一环，因此上面的往年压轴题如果你还是不会做的话，就抓紧最后一天时间好好跟我们学习一下吧，争取明天考出好成绩。
问题
设为正整数，求反常积分
收敛的充要条件
分析一下，这个反常积分的奇点是和无穷，其中处不论是多少分子两个一相减就会消去常数项，并且下一项还是级别的，所以处其实不论是多少，都不会是奇点，那么问题就变成了无穷的，换句话说不妨设积分下限为
根据AD判别法，显然是收敛的，但是根据二倍角公式就是发散的，因为会搞出来一个常数，
注意可以利用二倍角公式之类的东西转化为的线性组合，并且是奇数时候不会出现常数项，偶数时候就会有常数项，只不过具体表达式可能大家不太清楚（当然我也记不住，没必要背这个）。
由此可以看出都是奇数时候收敛，一奇一偶必定发散，而两个偶数时候，积分收敛当且仅当常数项部分能够刚刚好抵消，有了这个想法，我们做一些定量的计算就可以解决问题了
以下是解析
解析
设为正整数，求反常积分
收敛的充要条件
根据泰勒公式有，所以不是奇点，因此我们不妨将积分下限改成，新的积分和原来的具有相同的敛散性
下面分奇偶来讨论，为此需要两个简单的引理
引理1
可以写成的线性组合
证明很简单，对归纳，显然，并且注意
结论显然成立
引理2
对任意正整数有
这种恒等式的来源一般都是考虑
然后将换成代入，整理，利用欧拉公式化简出来得到的
完全不需要死记硬背这个公式，需要用的话就从我上面说的这个简单的高一数学的二项式定理恒等式出发，然后赋值代入推一下，即可快速得到你需要的结论
证明很简单，因为
因此当都是奇数时候，都可以写成的线性组合形式，并且由AD判别法可知是收敛的，所以线性组合的每一项都是收敛的积分，那么原积分当然收敛
而一奇一偶的时候，前面的两个引理表明奇数对应的积分收敛，偶数对应的积分因为常数项的存在一定发散（非常数项的部分，每一项由AD判别法都是显然收敛的）
最后看都是偶数的情况，我们说明此时只要是两个不同的偶数，那么积分就一定发散，同样道理只需要关注常数项部分，因此去论证不同的偶数对应的常数项一定是不一样的就可以了
其实上面引理2的公式中的常数项是有单调性的：
所以数列是严格单调递减的正数列，因此不同的偶数对应的常数项一定抵消不了，就会导致积分发散
综上，反常积分收敛的充要条件是均为奇数，或者
这个故事告诉我们，熟练掌握高考数学知识对于解决大学数学的难题非常有帮助，因为本题最核心的部分就是将转化为的线性组合，其中引理1是定性分析，引理2是定量分析，这两个引理的证明都只用到了高一数学的课本知识，没有任何高级东西或者大学数学的内容在里面，很考验你的高考基本功
所以我说这题就是一道高考题，大家应该没什么意见吧，主要考察高一上课本中的三角函数基本公式。本题也可以出在高考19题里面：只需要简单科普一下积分的定义让考生能够读懂题即可，剩下的部分能否解决就完全是取决于学生的基本功了，将会是一道有区分度和综合性的好题，虽然表面是大学数学，但本质却是高考题
本解法为我（数海钓鱼）原创，搬运请注明出处，尊重版权，抵制抄袭！
觉得我讲的好，想要看清题目本质，用初等方法和同济高数知识解决一切难题，就来报名我们竞赛班学习吧。
您来，我们有系统的课程和细致而深入的答疑，包教包会，让你轻松拿到国二实现复旦兜底，而如果您不来，那我就只能尽力培养您的竞争对手了，给你上点强度！
要知道，现在我们竞赛班总学员数量已经过千，并且我们学员有着极高的省一和决赛比例，这“上的强度”或许不是一点半点。
为了帮助大家高效备战明年的17届全国大学生数学竞赛以及考研数学，我们推出新一轮的全年班，分为两期课程，一期持续约半年时间。
第一期主要讲解高等数学（或数学分析、高等代数）上册内容（现在刚刚开始）；
第二期则主要讲解高等数学（或数学分析、高等代数）下册内容（将于24年五月份开始）；
课程特色：《低观点下的高等数学》，通俗易懂，用初等方法解决一切难题。服务包括60小时视频课+回放+600页讲义+全天实时答疑，除答疑外其余永久有效（白菜价课程，平均一小时只要10块钱）。
第一期（上册）课程的内容，几乎都是围绕着数学分析与高等代数（微积分与线性代数）上册内容展开来讲的，因此讲课的进度和大一新生的学习进度几乎一致，绝不存在大一新生跟不上的情况（实际上，第三届竞赛班有好几百个大一新生报名，甚至很多人高考刚一结束，暑假就直接报班跟着我们学习了，你还在慌什么？）。
我们2024-2025大学生数学竞赛与考研全年班，和之前所有课程的内容完全不同，重复率为零！
数海最新一期课程简介
感兴趣的话就扫描上方二维码报名吧
详细的竞赛班介绍（包括课程安排，上课方式，大纲，学员评价，试听课等等，甚至我们今年还押中了数学类的CMC压轴题，上课竟然讲过原题！）见推文
参加CMC的好处一句话概括就是“国二复旦兜底”：只要你获得了数学类CMC决赛二等奖（大一至大三均可，你有三次机会），就可以轻松去复旦，因为复旦对于CMC有着极大的优惠，甚至前年还可以免笔试直接进！相关的政策及其说明可以看之前的公众号文章（点击跳转）
另外如果你拿到了数学类国一，那么北大数院之下各大高校基本随便挑。
如果你希望有人为你实时答疑解惑数学问题，或者你想要在明年的CMC与考研中取得优异成绩（尤其是失利的高中竞赛党，想不想大学期间借此一鸣惊人啊！！），可以报名我们数海钓鱼公众号的“2024-2025数海考研竞赛全年班”。
为了给广大学生提供一个交流数学的平台，我们创立了“数海考研竞赛交流群”，进入该群无需报名任何课程也无需付费，扫码即可加入。欢迎大家来这里探讨数学问题，群内大佬云集，此外还有丰富的学习资料等你来拿！
本期课程的完整介绍（如试听课，学员反馈，竞赛班成绩与效果等等）可在CCtalk端查看，只需扫描最下方的二维码。
扫描二维码
关注“数海钓鱼”
获取更多精彩内容
扫描二维码
报名竞赛班
高效备考
本期内容到此结束，感谢阅读。
作者：柯西永远爱你
