今天要讲的题目是红宝书中的一道级数问题，相当具有综合性，可以说把一元微积分中所有核心知识点全部考察了一遍。
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超级好题，务必自己动手做一遍，再往下看答案，这道题搞懂后，再遇到三角级数求和相关的问题，就完全不用慌了，全部都是换汤不换药。
题目虽然有难度和综合性，但是我们的解法并不需要任何高级知识，学过同济高数课本就能完全掌握，带你领略低观点下的高等数学的魅力
问题
设，证明：收敛并求极限
.
这种题目没什么好说的，看见这样的级数，直接考虑欧拉麦克劳林公式，把求和变成积分，就可以计算了，当然关于积分收敛这个问题，我们必须要证明函数是可积的，可积和有界显然不一样，必须要先证明可积性，然后再去说明函数有界或者积分有界，才能完成证明，那怎么证明可积性呢？自然是考虑连续性
但是欧拉麦克劳林公式做题，余项是很重要的，必须要严格证明余项趋于零才行，而本题中余项的估计又不简单，所以看似简短的一道小题，写来会很麻烦
本题做法不唯一，我们会讲两个方法，这也都是上周六竞赛班里面讲过的内容，在此免费分享给大家
CMC官方红宝书上面还有其他一些解法，感兴趣的同学可以自己去看看
长文预警
为便于大家阅读，后面会放上图片版解析，一共整整三页纸，当然对于已经报名竞赛班的同学来说，直接看我们竞赛班讲义就可以了！
解析
设，证明：收敛并求极限
.
先证明在中连续
方便起见记
则对任意都有
由此可以看出对任意，数项级数都是收敛的，因为单调趋于零，有界
现在任意取定，我们证明在处连续，对任意有
这里是任意正整数（待定），注意
所以有
根据极限定义，对任意，取正整数充分大使得，则已经取定，而上式第一项是有限求和，所以存在使得
所以当
时就有，这就证明了连续性
由此可知，反常积分的收敛性以及极限情况都完全由在附近的性质决定，两种处理手法
方法一：
根据欧拉麦克劳林公式可知（这一步完整来说应先有限求和再取极限）
因为，所以
显然是收敛的，分部积分有
现在只需要证明
便有，于是得到可积并且
因为
所以只需证
对任意有
根据绝对值不等式有
，右端与无关，再根据积分第二中值定理可知
令得到
这就证明了结论，其实更强的我们说明了
补充说明
上面的常数也可以算出来：
这就是菲涅尔积分，算法很多，你也可以用重积分换序去做，进一步估阶可以证明
这说明我们刚刚给出的第二项是刚刚好的（非零常数），只不过没算出具体值而已
方法二：
欧拉麦克劳林公式方法的难点在于处理余项，现在我们不去面对余项，直接用主项拟合
采用分段放缩的方式直接证明
对任意和，分成三部分有\
对任意，取充分大使得，此时已经确定，再看第一项
考虑，则有
注意不黎曼可积，虽然广义积分收敛，但是不能直接由定积分定义得到
因为在附近是单调的，我们可以设这个单调区间为，然后将上式中的求和与积分都分别分成两段和，对应作差。
后者因为黎曼可积，所以由定积分定义知充分小时后者趋于零，至于前者，可以根据单调性夹逼放缩，由中广义积分收敛推出对应的作差趋于零，这样便能证明
所以存在使得任意都有
于是结论得证（注意，我们得到的结论实际上是，比上一个方法结果要弱！）
图片版解析
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作者：柯西永远爱你
