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99%的大学生没见过的复变函数题

文摘 2024-09-28 23:02 广东

引言

今天继续更新一些杂例，欢迎投稿。

问题1

Solution

这是一个经典问题，去年此时是一道网红题。ACD选项只需取反例

关键在于严格证明B选项。由于0处二阶导存在，显然在0的邻域内连续，故有

从而有

进而有

此时根据该极限存在我们依L'Hospital法则就有

另一方面

这样我们就证明了。

问题2

设，计算行列式

Solution

注意到

从而

问题3

计算复积分

Solution

此题的本质实际上是使用复方法手段处理曲线积分问题。我们令，有，显然有，从而有

我们完成了计算。

Mathematica验证

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5MTA2MDg1NQ==&mid=2247487168&idx=1&sn=996ededafcbf5eb4648214fdee7a4119

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