今天的题目是昨天竞赛班学生问的，也是14届CMC数学类压轴题，学员提问时表示官方答案看不懂+想不到，问我有没有什么正常的方法，自然而通用的解法
有吗？当然是有的，如果什么都只能和标答一样，那我们竞赛班的价值与意义何在？我们已经提供了很多难题包括野题的全新原创解法，而且还有细致的讲解，这些是你在其他地方学不来的！
标答的解法用了第一问的结论，而且显得颇为生硬和让人感觉想不到，而我今天要讲的做法则是一种通法，两个字概括就是“估阶”，这个方法做题，是不需要第一问结论的！我们可以直接上手就把第二问干掉，简单粗暴+零门槛，就问你想不想学？
问题
设在的任意闭子区间上黎曼可积，令
(1) 若并且，证明：在中一致连续.
(2) 若，以为周期，，证明：在中非一致连续.
分析一下，第一问要证明一致连续，其实说明很大时候一致连续就可以了，那没什么好说的，直接假设都充分大，并且极限存在表明是有界的，然后代进去算就完事，区间很长怎么办？我们重新分配一下就是了
注意，事后我们会发现，第一问根本不需要函数极限存在，只要有界就可以了！
第二问则比较有难度，当年14届数学类CMC，北京赛区全场最高分也只有70分，其中有一个20分的多项式题全场无人做出，那说明剩下的题，肯定还有什么题是基本上没人做出来的。最大的可能性就是本题第二问，从分值上看也合理，当然还有一种可能就是那年的另一个高代题也没什么人做出，不过个人感觉还是这个第二问处理起来更麻烦一点，因为另外那个高代题颇有高中竞赛的味道，北京的CMO过来的竞赛生应该比较擅长才是。
第二问肯定反证法，那么对应的怎么取呢？我们知道是连续函数，所以有限闭区间上肯定一致连续，那么出问题就一定出现在无穷处，而具有周期，所以的取法可以考虑都加上，其中很大，这样好算，否则你随便搞一个代入进去，简单试下就会发现算起来实在太混乱了。。。根本没有算的欲望，即便加上去算都不是很好算。
还有一个奇怪的事情，这个和是什么关系，我们也不知道，在一个周期上的积分又是多少？还是不知道，这个积分为2022又有什么用呢？莫名其妙的
那没办法，只能是先不管这些，我们先代入算一遍看看，考察一下到底差多少，之后遇到问题了再说
下面是解析，我们还是会先把第一问写了，但是注意：我这个方法做第二问的时候是根本不需要用第一问的！相当于无铺垫直接解决压轴题最后一问
解析
设在的任意闭子区间上黎曼可积，令
(1) 若并且，证明：在中一致连续.
(2) 若，以为周期，，证明：在中非一致连续.
第一问
条件表明有界，设恒成立，显然连续，所以在中一致连续，我们只需要证明在上一致连续
如此假设是为了保证四个数字总是从小到大排列的
对任意有
对任意，只要充分小，则上式右端就会充分小（不论多大），所以在上一致连续，进而结论得证
第二问
利用周期性，对任意正整数有
设
再记，则，根据欧拉麦克劳林公式可知
其中
这说明，欧拉麦克劳林公式中的余项，关于和是一个一致有界的量，下文中所有关于和一致有界的量均用来表示，这个不依赖于与的大小
当充分大时，注意是一致趋于零的，泰勒展开有
代入，积分有
因此当时，不能被这样的一次函数控制住，从而不一致连续
下面有两种处理方式，这里我们主要写第一种，第二种会在文末简单说下操作方法，不细写过程了
以下设，因为，所以几乎处处连续，并且
所以存在的一个连续点使得，则不妨设，并且
对任意和任意充分大的正整数有
其中
所以代入可知
因为在处连续，并且（不妨设），所以存在使得任意都有，现在说明不一致连续
对，任取，取使得，则对任意正整数有
令则右端趋于正无穷，一定会比大，并且，所以不一致连续，结论得证
处理方式2：我们并不用关注连续点，设想刚刚为什么能导出矛盾，根本原因是，所以只要找到一个很小的子区间使得在其上面的积分不是零，就能够完成证明，那么反证法，如果在任意长度充分小的子区间上积分都是零，那么把这些区间加起来，将会得到，矛盾，因此这样也能解决问题，从而规避掉“几乎处处连续”“测度”等等概念，过程是严谨的，细节略
由此可见，本题的条件可以在弱化很多，比如第二问只需要在某个连续点处取值非零，就能完成证明。
本题是14届CMC数学类初赛的压轴题，感兴趣的同学也可以去看看标答，然后做个对比，看哪个方法你更喜欢。
本题在竞赛班中也会讲，想学的速度来报班学习！！！ 这题解答有点长，后续我会码一个图片版的解析分享给大家，这样或许更方便学习，敬请期待
本解法为我（数海钓鱼）原创，搬运请注明出处，尊重版权，抵制抄袭！
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作者：柯西永远爱你
