我们今天来讲一下16届CMC非数A的两道压轴题的全新做法
上次文章中已经讲了倒数第二题的一个直观分析理解与对应的解法，可以说是自本题诞生至今六年时间内的首个不同于标答的做法，在此之前一直都是清一色的标答（最早是IMC题，然后CMC抄IMC答案也一样，包括后续其他高校用这个题，网上的解答又都是一模一样的...）
而今天，我们将会给出另外一个本质不同的思路与解法，这样这个多年来一直“无第二条路”的难题，就算是被彻底破解了——至少有三种完全不同的思想与方法
至于最后一题，有没有别的做法呢？当然是有的，别看那个二重求和吓人，其实是可以直接算出来的，根本就不需要做什么积分估计，还有人搞什么欧拉麦克劳林？不需要的！
问题&解析
设非负函数在上可导并且对任意恒成立，证明：恒成立
对任意实数，要证明
对任意，设
换句话说，就是对任意，我们用上面这个式子去定义，是唯一确定的
考虑函数
则有，根据罗尔中值定理知存在介于之间（这里在开区间中，）使得，也即
结合条件有
因此
注意是非负的，所以也即
上式左端是关于的二次函数，显然在时相应的取值也是非负的，因此对任意都有
因此判别式小于等于零，也即，结论得证
以上解法来自于竞赛班学员，这个过程我做了些改动，使其更加清晰明了和绝对的严谨。学员表示看完我上课讲的中值定理问题里面的常数K值法后受到了些启发，对这个与中值定理毫无关联的题也动起了常数K值法的心思，尝试一段时间之后发现真的可以做出来，而且还是一种很漂亮的，本质不同的全新方法！为学员点赞
我为了把这个过程写清楚（尤其是说明最开始定义的虽然与有关，但是最后它的范围是一致的，与无关的，以及最后是二次函数），所以步骤写的可能有点多。当然这样写绝对是说的很明白了，考试不存在误判的可能性。如果你自己脑子里很清楚谁与谁有关和无关，并且改卷老师也知道这个方法，那么上面过程大概可以少写一半，两下子就秒了
证明：级数收敛
里面那一层求和是与无关的，我们可以直接算出来，利用这个经典的的因式分解结果即可完成，同济高数课本公式
看最后的式子，括号内三项相对应的有三个级数，很明显后面两个级数都是绝对收敛的（第二个是指数级趋于零，第三个也是级别的），因此原级数与通敛散性
下面证明其收敛即可，方法很多，随便讲一个
设，注意
这说明有常数使得恒成立
比如我看就可以，具体来说就是你从到求和，这里面总有很多的平方数，相邻三个平方数之间的那些求和为，最后一个平方数到之间的求和每一项虽然都相同，但是项数很明显大约是这么多个，于是有上述估计
进而由Abel变换可知
这里通项是级别的，所以级数收敛，结论得证
想不到吧，原题这个抽象的二重求和，里面那一层居然能够具体算出来，一步就能过渡到最后这个简单的级数估计问题上去
其实本题还有一个推广：
设，为正整数，则级数在时收敛，在时发散.
读者自证不难，留作习题，这题我们在竞赛班上也会讲解，想要学习可以来我们这里
本解法为我（数海钓鱼）原创，搬运请注明出处，尊重版权，抵制抄袭！
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作者：柯西永远爱你
