明天更新刘神传奇最终章和总结
昨天写解析时候偶然发现13届非数CMC补赛的倒数第二题，也就是那个广义积分敛散性的压轴题，官方答案做的是错的：对于一个正负交替的积分使用了比较判别法......并且后面使用狄利克雷判别法时候，也没有证明单调
对正负交替的积分使用比较判别法是非常严重的错误，无法弥补，所以说这个答案就是伪证
之后看到过一些别的做法，但是也都有很大的缺陷，比如在使用AD判别法时默认了某些函数是单调的，而单调性却不好证
自官方答案公布至今已经有三年时间，既没人指出这里存在问题，也没有人修正这一问题或者给出其他正确的解法
这道题在我们竞赛班前几次的非数课上已经讲过，接下来你看到的，将会是本题诞生至今三年以来第一个正确的解析！
本题解析较长，我们先直接在这里打公式讲一遍，文末会放一个图片版解析，方便读者保存和阅读学习
问题
设，对，讨论的敛散性.
本题可以把算出来，也可以轻松的估计的量级，但是你却不能把直接替换为它的量级，因为后面部分正负交替，无法估计
面对含有三角函数这种，正负交替的广义积分，要想证明其收敛，基本上只能用AD判别法，其实就算用柯西收敛准则也是一样的，因为使用柯西收敛准则去估计积分时，你还是要用积分第二中值定理，还是逃不开AD判别法
因此可以说，AD判别法是证明正负交替的积分收敛的唯一工具，而比较判别法等等都无法使用
所以关键点就在于说明一些相关的单调性
另外，里面震荡太快，所以肯定要换元变成这种，然后三角函数基本公式拆一下变成两项，就能变成可估计的东西了
证明
显然时，设正整数使得，则有
于是
根据斯特林公式可知：对任意有
这说明：存在正的与无关的常数，使得，也即
所以当时就有
也即此时积分绝对收敛，以下考虑的情况：
因为
由前面可知，也即存在使得，并且
所以上面等号右边第二个积分绝对收敛，于是只需关注第一个积分
我们直接证明：时，条件收敛，便能说明此时题中积分也条件收敛
因为关于是有界的，根据狄利克雷判别法，只需要说明在充分大时（存在正数使得时恒成立某个性质），函数是单调递减的并且趋于零即可
因为，所以只要证明在充分大时单调递减
注意是连续函数，并且的不连续点为所有的正整数，所以的不可导点为，在每一个区间中都是可导的
关于函数单调性有以下基本且熟悉的结论：
若在上都是单调递减的，则在上也单调递减
若在中连续，在中可导，并且，则在中递减
综合上述两点，只要证明：存在正数使得对任意正整数，在区间中，都恒有
对任意正整数，在区间中，可导，求导有
注意，并且单调递减趋于零，所以存在使得时恒有
现在对任意正整数，在区间中，就有恒成立，这就说明了在充分大时是单调递减趋于零的，从而结论得证
综上，当时绝对收敛，当时条件收敛
后记
感兴趣的同学可以自行思考一下的时候会怎么样，显然此时积分不可能绝对收敛，那是否条件收敛呢或者说这个积分收敛吗？从证明过程可以看出之前的方法用不了了，之前的方法最后一步依赖于，而时候不可能再有单调性，此时结论如何？
留作习题
图片版
以下内容选自我们的竞赛班讲义，喜欢的话，可以报名竞赛班进一步学习
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作者：柯西永远爱你
