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题目
设均为周期函数，使得
在处极限存在，证明：是常值函数
分析
此题为经典结论，需要记忆，而证明的思路也是及其显然，直接数学归纳法即可
解答
采用数学归纳法
时，是周期函数并且存在，如果存在使得，记周期为，则，令可知不存在，矛盾
时，极限存在，周期分别为
考虑，代入有并且极限存在，注意具有周期，所以也即是周期函数
根据的结论可知是常值函数，显然，所以只能，即，结合条件说明是周期函数并且极限存在，再次利用的结论知是常值函数
假设结论对成立，考虑时，此时极限存在，设每一个的周期为，因此
是个周期函数之和，并且在正无穷处极限为零，根据归纳假设可知为常值函数，也即恒为零所以是周期的函数并且极限存在，根据的结论知是常值函数
练习
实数使得
恒成立，证明：数海竞赛班讲义
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