明天更新刘神传奇总结
问题来自于竞赛班，是一位正在准备考研数学系的学生问的，是2018年的浙大考研题
注意，这题系数是错的：“并且”下方的应该有系数，由此可见回忆版考研试题以及网上流传的版本很容易出现错误，如果你基础不好，可能你就发现不了，错题反而会误导你和浪费你的时间！
其实这题还有另外一重身份：第八届（2017年）CMC数学类决赛压轴题，听上去很高大上是吧，再配合着题干表述中各种乱七八糟的符号，是不是读完题就想放弃？
有些学生看完表示本题在考察傅里叶分析，并把相应的傅里叶分析专业书籍中的资料直接甩了过来，于是提问者就被劝退了，“考研数学竟然还考傅里叶分析？？？”
上面都是非常错误的观点，抱着这样的观点学数学，最后只能成为名词党，二战自然情理之中：你就算会傅里叶分析你名词党也拿不着分，更何况很多名词党没啥真才实学，别看平时叫的欢，一到出分都露馅。
那么这题究竟是什么难度呢？我做了一下，其实这就是一道很普通的同济高数课后习题，只要知道基本定义，能读懂中文，就可以很轻松的做出来，全程不需要使用任何高级知识，准大一新生也能看懂，你考研人还怕看不懂吗？
换个角度看，浙大考研题就是直接搬运的前一年CMC决赛题，因此考研数学和大学生数学竞赛是一家人，题目互通，自然备考时候不应割裂开，所以说，我们大学生数学竞赛班对考研数学有着很大的帮助
问题
设函数集合
若 , 求证 , 其中，并且
分析一下，这题的道理很清楚，就是一个光滑函数及其高阶导数在无穷远处都衰减很快，然后要你证明做一次傅里叶变换后，函数及其导数仍然是衰减很快的，并且做两次傅里叶变换，就变回去了，很直观
符号看似抽象和奇怪，实际上你写出来之后，就是一个很基本的求极限问题，只需要学过同济高等数学上册（无需了解傅里叶分析，甚至连傅里叶变换的定义都可以不知道，没有任何影响），然后一直分部积分，操作一次的幂次就减一，所以若干次后相当于直接不妨设中的，那就是显然的题目
注意：本题中的积分与求导换序是需要证明的！！！广义积分背景下一般来说不能默认，否则会扣分，当然证明起来也毫无难度，就是高考不等式
来看我们怎么用同济高数上册课本的基础知识解决本题
解析
先证明积分与求导可以换序，也即证明
根据导数定义有
所以要证明的是
利用绝对值不等式，我们只要证
根据中值定理有
根据条件可知，存在使得恒成立，所以积分
对一切都是收敛的（可以将区间分为和两部分，前者是有限闭区间上的连续函数积分，自然收敛，后者代入前面的两个不等式，可以看出也是收敛的）
因此任意，都存在充分大的正数使得
以下估计
结合前面中值定理的结果有
根据条件，是有界的，设，则
对前面的，取，则当时恒有
这就证明了积分与求导可以换序，同理可以证明
下面证明，也即证明在给定后，总有
分部积分可知（注意条件表明边界项都是零）
这里都是多项式，所以
上述操作相当于在验证时，直接不妨设，于是命题显然
为了证明上确界有限，只需逐一考察其中每一项，注意，所以显然其高阶导数也在中（因此高阶导和没有区别，相应的验证即可），注意多项式就是有限个单项式的线性组合，所以验证
就可以了，这由的衰减速度是显然的，从而
最后证明
前面已经证明了，所以的衰减速度比任何幂函数幂函数都要快，因此上述积分收敛，故可以视为一个有限区间定积分的极限，也就是说我们要证明
代入的定义，要证
直接计算有
注意是光滑的，并且衰减速度快于一切幂函数，分部积分可知（在以上积分中，是任意取定的实数，是积分变量）
其中被积函数是有界的（结合已知条件，以及在处的泰勒展开式），令，则上式趋于零，所以，结论得证
你看我做这道题，全程没有用任何一个高级的定理，且不说傅里叶分析的知识，速降函数，施瓦茨空间等等高级名词，就连一致收敛，黎曼引理等等东西都不需要用，直接上高考不等式放缩，需要什么就证明什么，很自然的就把这题做出来了，本题难度也就数一考研水平，看过同济高数上册课本就能轻松解决。
可见，浙大数学考研压轴题，包括CMC数学类压轴题，也不过如此
竞赛班答疑
答疑实况和学员感受如下
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本解法为我（数海钓鱼）原创，搬运请注明出处，尊重版权，抵制抄袭！
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作者：柯西永远爱你
