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今天的题目是昨天竞赛班Lotte问的，这个问题非常有意思：什么时候一个复矩阵能够相似于实矩阵，注意这里的相似就是通常的复数域上面的相似，不要求矩阵为正交阵，实矩阵之类的条件，但是即便如此，这依旧是一个看起来比较神奇的问题，似乎没有什么理论可以用
今天的题目有一定难度，大概是考研数学或者CMC数学类压轴题的水平，非常适合考前训练，很好的题目
问题
题目1
设为阶复方阵，证明：能够相似于某个实矩阵当且仅当可以分解为两个Hermite矩阵乘积.
Hermite矩阵就是取共轭转置等于自身的矩阵，记为
其实关于复矩阵什么时候能够相似于实矩阵这个问题，有一个显然的判定条件，那就是“的虚数特征值的Jordan块两两配对”，这个命题在实数域上的广义Jordan块角度之下去看就是显然的
还有两个类似问题，也可以说是推广
题目2
设是阶复方阵，证明：能写成两个半正定Hermite阵乘积当且仅当相似于某个对角元均非负的实对角阵.
题目3
设是阶复方阵，证明：能写成半正定Hermite阵与一个Hermite阵乘积，当且仅当相似于实对角阵，或者相似于，其中是实对角阵，是特征值的二阶Jordan块.
今天有点忙，不单独写分析过程了，直接来看解析吧（当然解析也是顺着正常思维来写的，零门槛即可轻松看懂），我们讲一下第一个问题，剩下两道题则留作习题
请先自行尝试完成，独立动手去做一遍，然后再看答案！
解析
设为阶复方阵，证明：能够相似于某个实矩阵当且仅当可以分解为两个Hermite矩阵乘积.
充分性
如果能够分解为两个Hermite阵乘积，我们先看可逆的情况，此时，都是可逆的Hermite阵，那么说明和相似，显然与相似，所以这说明和相似
矩阵什么时候能跟共轭矩阵相似？我们从Jordan标准型的角度来看，如果有Jordan块，那么有Jordan块，由于相似所以也有Jordan块，这说明成对出现，也即
复方阵相似于当且仅当的所有虚特征值的Jordan块都成对出现
我们要说明能够相似于一个实矩阵，首先可以先相似为其Jordan标准型，对于实数特征值的Jordan块自然无需讨论，则只要看虚数特征值的，我们配对来看，也即说明
相似于实矩阵，这其实是显然的，因为它相似于实数域上的广义Jordan块
说明这件事情也很容易，记是的特征多项式，当然也是其极小多项式，显然的初等因子是，不变因子就是只有一个，现在看的不变因子，特征多项式显然是，于是说明其极小多项式也是就可以了（自然不变因子只有一个并且等于特征多项式，那么不变因子相同，故相似）
因为极小多项式整除特征多项式并且在上不可约，所以极小多项式必定为形式，于是验证不是零矩阵就行了，这很容易，因为
求导，结合可知
显然是非零矩阵（甚至最右边那个矩阵都是可逆的），所以结论得证
再来看下不可逆的情况，此时这个分解中，至少有一个不可逆，我们设是不可逆的Hermite矩阵，注意问题的条件和结论在同时酉相似变换之下是不改变的，故我们不妨设就是其标准型，也即
这里是实对角阵并且可逆，中间采用了分块矩阵的相似变换（初等变换），所以还是有和相似，与前面完全一致，进而结论得证
必要性
如果相似于实矩阵，则这里是实矩阵，所以和相似，进而与相似，我们在此基础上来说明能分解为两个Hermite矩阵乘积
其实只需要说明，这个相似能够用一个Hermite矩阵来实现就行了，因为假如则
就完成了分解
说明这个相似能够用一个Hermite矩阵来实现是简单的，可以参考之前公众号的文章，方法差不多
时间原因，后面这一步的过程不写了，留给读者自行对比完成，当然如果你思考后还是做不出来，可以报名我们的竞赛班，我上课也会讲这道题，不懂的话问我就行，欢迎报名
事实上结论如下（非常精彩的结果，而且证明不难，就是考研数学或者CMC水平）
设为阶复方阵，则下面的结论等价
复相似于实矩阵
存在可逆Hermite阵使得
可以写成两个Hermite矩阵乘积并且其中至少一个可逆
本解法为我（数海钓鱼）原创，搬运请注明出处，尊重版权，抵制抄袭！
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作者：柯西永远爱你
