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今天的题目是早上竞赛班学员Lotte问的，是一道函数性态分析类的问题，在考研以及竞赛当中都会经常考到，这类题型很重要
题目如下
其实我之前竞赛班上讲过一个类似的题目，是这个
后面发现，这两道题目其实都出自于前苏联的竞赛题集那本书，那本书的难度很大（超越普特南竞赛），最关键的一点是好多习题没有答案，比如上面这两个
但是实际上今天要讲的这道题目并不困难，大概就是今年考研数学一解答题的水平，跟CMC难度应该也差不多，因此强烈建议正在准备考研数学或者CMC的学生拿来练一练，务必先自己做一遍，然后再看答案
问题
连续函数定义在上并且恒正，给定，如果对任意都有
证明：存在使得对任意都有
分析一下，这题两个任意参数，我们先想想要干啥，对比目标，假如就直接待定系数设，那么对任意有
然后直接取让有
由此来看，右边的幂次不是乱取的，并且这个幂次或许我们取然后让充分大就能导出来
再思考一件事情，这题我们是不是只需要关注时候的性态就可以了，因为有限闭区间上，想象的图像，肯定有个正的最小值，再看目标式子右边，我们只要让取充分小的正数，从图像上看很明显就能够让右边总是位于下方（有限闭区间上），所以本题的关注点应该是无穷远处的性态，具体来说就是去证明
下面是完整过程
解析
连续函数定义在上并且恒正，给定，如果对任意都有
证明：存在使得对任意都有
如果
则根据下极限定义，然后再有限闭区间上找一个，与下极限的值对比，取一个较小的，即可完成证明
根据对称性，只需要证明
则负无穷处可以同理，进而得证
令则单调递增且
先证明
因为后面会发现推理的时候需要这个性质，并且从结论来看这个性质成立是理所应当的，故我们先证明它
反证法，则收敛，任意取定一个，因为反常积分收敛，所以存在一列单调递增趋于正无穷使得代入条件有
令就有
换句话说，对任意都有，因此令，则恒正且单调递减趋于零，满足，积分有
于是
矛盾
现在我们证明了
在条件中取有恒成立，也即
则存在使得时恒有
两边积分有
结论得证
可见本题跟我曾经上课讲的那题差不多，方法类似，这两道题难度并不大，只不过有一定综合性，考验基本功
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作者：柯西永远爱你
