世界上最聪明的一些人在努力设计能难倒AI的测试题，但他们正在失败。纽约时报报道，本周，AI安全中心（Center for AI Safety）和Scale AI的研究人员给出了一个可能的解决方案：他们发布了一项名为"人类最后一考"的新评估，声称这是迄今为止对AI系统的最难测试。该测试包含约3000道选择题和简答题，可以考察AI系统从分析哲学到火箭工程等各领域的能力。这些题目由相关领域的专家提供，包括大学教授和获奖数学家。这些是他们知道答案并能提出来的极其困难的问题。A block is placed on a horizontal rail, along which it can slide frictionlessly. It is attached to the end of a rigid, massless rod of length R. A mass is attached at the other end. Both objects have weight W. The system is initially stationary, with the mass directly above the block. The mass is given an infinitesimal push, parallel to the rail. Assume the system is designed so that the rod can rotate through a full 360 degrees without interruption. When the rod is horizontal, it carries tension T1. When the rod is vertical again, with the mass directly below the block, it carries tension T2. (Both these quantities could be negative, which would indicate that the rod is in compression.) What is the value of (T1−T2)/W?
一个方块被放在可以无摩擦滑动的水平轨道上。它连接在一根长度为R的刚性无质量杆的一端，另一端连着一个质量物体。两个物体的重量都是W。系统初始静止，质量物体正好在方块上方。给质量物体一个与轨道平行的微小推力。假设系统允许连杆可以无阻碍地旋转360度。当连杆水平时，张力为T1；当连杆再次垂直且质量物体位于方块正下方时，张力为T2。（这两个值可能为负，表示连杆处于压缩状态。）求(T1−T2)/W的值。
（纽约时报记者说：我本可以在此公布答案，但这会影响正在用这篇文章训练的AI系统。另外，这些题目对我来说太难了，我也无法验证答案。）"人类最后一考"的试题经过两轮筛选。首先，将提交的题目交给顶尖AI模型解答。如果模型答不出来（或在选择题中表现比随机猜测还差），这些题目就会交给人类评审团，由他们修改并确认正确答案。提供优质试题的专家每题可获得500至5000美元的报酬，同时获得参与考试的署名权。加州大学伯克利分校理论粒子物理学博士后研究员凯文·周（Kevin Zhou）提交了几道题目。其中三道被选中，他告诉我，这些题目"属于研究生考试中最难的范畴"。"人类最后一考"的目标是，检验AI系统在多个学术领域回答复杂问题的能力，从而得出一个类似"通用智力分数"的指标，评估AI在多大程度上能够自动化那些真正困难的智力工作。这套问题编制完成后，研究人员让六个顶尖AI模型参加了"人类最后一考"，包括谷歌的Gemini 1.5 Pro和Anthropic的Claude 3.5 Sonnet。所有模型都惨败。OpenAI的o1系统得分最高，但也仅为8.3%。凯文·周认为，尽管AI模型在回答复杂问题时常常令人印象深刻，但还不会对他和同事构成威胁。因为他们的工作远不止是给出正确答案。"考试和实际从事物理学研究工作之间有着巨大的差距，"周说。"即使是能回答这些问题的AI，可能也无法帮助研究工作，因为研究本质上是非常开放和不确定的。"就上面那道物理题，我用国产最夯的deepseek和美帝领头羊chatgpt-o1进行了测试。以下是它们的回复，最后结果不一样，我也不知道哪个对。物理好的同学可以验证一下。deepseek思考了163秒，以下是其推理过程：嗯，这个问题看起来有点挑战性。让我仔细读一遍题目，确保我理解正确。题目说有一个块放在水平轨道上，可以无摩擦滑动。它连接到一个刚性、无质量的杆的一端，杆的另一端有一个质量块。两个物体的重量都是W。系统初始静止，质量块正好在块的正上方。然后给质量块一个微小的平行于轨道的推力，使得系统开始运动。杆可以360度旋转。当杆水平时，杆的张力是T1；当杆再次垂直，质量块在块的正下方时，张力是T2。问题是要计算(T1−T2)/W的值。首先，我需要明确系统的运动情况。杆的长度是R，两个物体重量都是W，也就是质量都是W/g，但可能题目中可能用W直接代表质量，不过可能需要用W=mg来处理，这里可能需要澄清。但题目中提到重量都是W，所以质量应该是W/g，其中g是重力加速度。不过可能在能量计算中，重量W可以直接用，比如势能变化是Wh，而动能是(1/2)(m)v²，但因为W=mg，所以可能需要转换。接下来，系统开始静止，质量块在块的正上方，然后被轻微推动，开始运动。当杆水平时，此时杆的张力T1，而当杆垂直向下时张力T2。要比较这两个位置的张力差。首先，我需要分析这两个位置的受力情况和运动状态，可能需要使用牛顿定律和能量守恒，因为系统在运动过程中可能只有保守力做功（重力和杆的张力，但杆的张力不做功，因为杆是刚性的，速度方向与张力方向垂直）。因此机械能应该守恒。首先，当系统从初始位置（质量块在上方）开始运动，之后到达水平位置和下方垂直位置。这两个位置的动能和势能变化需要计算，然后结合圆周运动的向心力来求张力。首先考虑初始状态：质量块在最高点，此时系统静止，动能为零，势能相对最低点（质量块在下方）的高度差为2R吗？或者初始位置是质量块在块的正上方，即杆竖直，此时质量块的高度相对于杆水平时的位置是R，而相对于最低点（杆竖直向下）是2R？需要明确势能参考点的选取。假设初始位置（质量块在上）作为势能零点，那么当杆水平时，质量块下降了R，所以势能减少了W*R；当杆竖直向下时，质量块下降了2R，势能减少了2W*R。但可能更简单的是以最低点作为势能零点，这样初始位置的势能为2W*R，水平时为W*R，最低点时为0。不过具体的计算需要确定。不过，可能应该以初始位置为势能零点，这样在初始位置时，系统的势能为0。当质量块下落到水平位置时，它下降了R，因此势能为-WR（因为向下移动，势能减少）。当到达最低点时，下降了2R，势能为-2WR。但这里可能需要明确两个物体的运动情况。因为块在轨道上滑动，而质量块做圆周运动。当杆旋转时，块会在轨道上左右移动，而质量块绕块做圆周运动。不过，由于杆是刚性的，整个系统的运动可能需要考虑两者的运动关系。不过，可能更简单的是，将系统视为一个刚体绕某点转动，但实际上块可以在轨道上滑动，而质量块绕块转动。因此，系统在运动过程中，块和质量块的运动是相关联的。例如，当杆旋转角度θ时，块可能向左或右移动，而质量块相对于块的位置由θ决定。这种情况下，系统的运动可能需要考虑两个物体的运动学关系。不过，题目中提到杆是刚性的，长度R，所以质量块相对于块的位置始终在半径为R的圆周上。由于轨道是水平且无摩擦，系统在水平方向不受外力，因此质心的水平位置应该保持不变。初始时，系统的质心位于何处？系统由两个物体组成，块和质量块，重量都是W，即质量均为W/g。初始时，块在位置x=0，质量块在正上方，即坐标(0, R)。质心的水平位置是：( (W/g)*0 + (W/g)*0 ) / (2W/g) ) = 0。质心的竖直位置是：(0 + R*(W/g)) / (2W/g) ) = R/2。当系统开始运动后，由于水平方向无外力，质心的水平位置应保持不变，即保持x=0。因此，当杆旋转θ角时，块可能移动到x方向的位置，而质量块的位置在(x_m, y_m)，使得整个系统的质心水平位置仍为0。设块的位置为x_b，质量块的位置为x_b + R*sinθ，y方向为R*cosθ。因为质心水平位置必须保持为0，所以：(W/g)*x_b + (W/g)*(x_b + R*sinθ) = 02x_b + R*sinθ = 0 → x_b = - (R/2) sinθ因此，块的位置随着θ的变化而左右移动，以保持质心水平位置不变。这可能对后续的运动分析有用，尤其是在计算动能时需要考虑块的速度和质量块的速度。接下来，当杆旋转θ角时，块的速度v_b = dx_b/dt = - (R/2) cosθ * dθ/dtv_mx = d/dt (x_b + R*sinθ) = v_b + R*cosθ * dθ/dtv_mx = - (R/2) cosθ * ω + R*cosθ * ω = (R/2) cosθ * ω （其中ω = dθ/dt）质量块的竖直速度分量为v_my = -R*sinθ * ωv_m² = (R²/4 cos²θ + R² sin²θ) ω² = R² ω² ( (cos²θ)/4 + sin²θ )KE = (1/2)(W/g) v_b² + (1/2)(W/g) v_m²KE = (W/(2g)) [ (R²/4 cos²θ ω² ) + R² ω² ( (cos²θ)/4 + sin²θ ) ]= (W R² ω²)/(2g) [ (cos²θ)/4 + (cos²θ)/4 + sin²θ ]= (W R² ω²)/(2g) [ (cos²θ)/2 + sin²θ ]= (W R² ω²)/(2g) [ (1 - sin²θ)/2 + sin²θ ]= (W R² ω²)/(2g) [ 1/2 - sin²θ/2 + sin²θ ]= (W R² ω²)/(2g) [ 1/2 + sin²θ/2 ]= (W R² ω²)/(4g) (1 + sin²θ)另一方面，系统的势能变化由质量块的高度变化决定，因为块在水平轨道上运动，其势能不变。初始时，质量块在最高点，势能为0（假设初始位置为势能零点）。当旋转θ角时，质量块的竖直位置为R*cosθ，相对于初始位置下降了R(1 - cosθ)，所以势能为 -W R (1 - cosθ)。因此，机械能守恒给出：初始时动能为0，势能为0；任意时刻的动能加上势能等于0：(W R² ω²)/(4g) (1 + sin²θ) - W R (1 - cosθ) = 0(W R² ω²)/(4g) (1 + sin²θ) = W R (1 - cosθ)(R ω²)/(4g) (1 + sin²θ) = (1 - cosθ)ω² = [4g (1 - cosθ)] / [R (1 + sin²θ)]这可能在后续分析中有用，特别是当θ=90度（杆水平）和θ=180度（杆垂直向下）时。现在需要求这两个位置的张力T1和T2。张力在杆中的作用是提供向心力以及平衡重力的分量。不过，杆的张力需要考虑两个物体的运动方程。不过，可能更有效的方法是分别分析这两个位置的受力情况，结合向心加速度和切向加速度，但需要注意此时系统的运动状态。首先，当杆水平时，θ=90度。此时质量块在水平位置，块的位置x_b = -R/2 sinθ = -R/2。不过此时θ=90度，sinθ=1，所以块的位置是 -R/2。质量块的位置在x方向是x_b + R*sinθ = -R/2 + R*1 = R/2，竖直方向为0，即位于轨道高度，此时杆水平向右。此时，系统的动能和势能可以用上面的公式计算。势能为 -W R (1 - cos90°) = -W R (1 - 0) = -W R。动能则由上面的表达式：ω² = [4g (1 - 0)] / [R (1 + 1^2)] = 4g / (R*2) = 2g/R此时，质量块的向心加速度为Rω² = R*(2g/R) = 2g，方向指向旋转中心，即块的位置。此时，质量块的运动需要向心加速度，这由杆的张力T1和重力的合力提供。不过，当杆水平时，质量块的受力包括重力向下W，和杆的张力T1，方向沿杆向块（此时杆水平，张力方向水平向左）。但此时质量块在水平位置，竖直方向是否有加速度？需要明确，当杆水平时，质量块的加速度包括切向和法向分量。法向加速度即向心加速度，方向指向旋转中心，即块的位置，此时是水平向左。而切向加速度垂直于杆，即竖直方向。不过，根据牛顿第二定律，在法线方向（径向），合力提供向心加速度；在切线方向，合力提供切向加速度。对于质量块，在径向方向（此时水平方向），张力T1和可能的惯性力需要考虑，但可能需要更详细的分析。或者，考虑在旋转参考系中，但可能更简单的是在惯性系中分析。质量块在杆水平时的位置，其加速度有法向（向心）和切向分量。法向加速度a_n = Rω²，切向加速度a_t = Rα，其中α是角加速度。但此时是否考虑切向加速度？可能需要用能量守恒已经给出的ω，此时可能角加速度α由扭矩决定，但可能在这里，我们只需要法向加速度来计算张力，因为切向加速度可能由重力的分量提供，而张力在切向方向没有分量，因为张力沿杆方向，而切向方向垂直于杆。在径向（水平方向）：张力T1 提供向心力，同时可能有惯性力？或者应该直接应用牛顿定律：质量块的质量是W/g，其法向加速度为a_n = Rω²，方向向左（向心）。因此，根据牛顿第二定律，在径向方向：T1 = m * a_n = (W/g) * Rω²但这里是否正确？因为此时质量块除了张力T1，是否还有其他力在径向方向？比如，在杆水平时，质量块的重力方向是竖直向下，而径向方向是水平方向，因此重力在径向方向的分量为零。因此，径向方向的合力就是张力T1，等于质量乘以法向加速度：而之前已经计算出在θ=90度时，ω²=2g/R，所以：T1 = (W/g) * R*(2g/R) ) = 2W所以T1=2W，方向向左，即杆处于拉伸状态，所以张力T1为正值。接下来分析当杆垂直向下时的情况，即θ=180度。此时质量块在块的正下方，杆竖直向下。此时，块的位置x_b = -R/2 sin180° = 0，所以块回到原点，质量块的位置在x=0, y=-R。此时，系统的势能为 -W R (1 - cos180°) = -W R (1 - (-1)) = -2W R。动能则由机械能守恒，此时动能应等于势能的减少量，即初始势能为0，所以此时动能KE = 2W R。不过需要再次用之前的动能表达式：KE = (W R² ω²)/(4g) (1 + sin²180°) - W R (1 - cos180°) = 0不过sin180°=0，cos180°=-1，因此：(W R² ω²)/(4g) (1 + 0) = (W R² ω²)/(4g)势能部分：-W R (1 - (-1)) = -2W R(W R² ω²)/(4g) - 2W R = 0 → (R² ω²)/(4g) = 2R → R ω² = 8g → ω²=8g/R因此，此时质量块的法向加速度a_n = Rω² = 8g，方向向上（因为此时旋转中心在上方，质量块在下方，向心加速度方向向上）。此时，质量块的受力包括张力T2和重力W向下。因此，在径向方向（此时竖直向上），合力提供向心加速度：T2 - W = m * a_n = (W/g) * 8g = 8W所以T2=9W，方向向上，即杆被拉伸，张力为正值。但是这里似乎有问题，因为当杆在最低点时，通常张力应该大于在水平位置时的张力，因为速度更大，向心加速度更大。但根据之前的计算，T1=2W，T2=9W，因此T1−T2=2W−9W=−7W，所以(T1−T2)/W=−7。但根据选项可能需要再检查哪里出错了。首先，当杆水平时，θ=90度，此时ω²=2g/R，代入张力T1= (W/g)*R*(2g/R)=2W，正确。当杆垂直向下时，θ=180度，此时系统的势能为-2W R，动能KE=2W R（因为机械能守恒，初始动能为0，势能0，所以总机械能0，在最低点势能-2W R，因此动能必须为2W R）。KE = (W R² ω²)/(4g)(1 + sin²θ) ，当θ=180度，sinθ=0，所以：KE = (W R² ω²)/(4g) *1 = (W R² ω²)/(4g) = 2W RR² ω²/(4g) = 2R → R ω² =8g → ω²=8g/R，正确。此时法向加速度a_n=Rω²=8g，方向向上。质量块受重力W向下，张力T2向上。合力向上提供向心力：T2 - W = (W/g)*a_n = (W/g)*8g=8W → T2=8W + W=9W，正确。所以T1=2W，T2=9W，因此T1−T2=2W−9W=−7W，所以(T1−T2)/W=−7。但题目中提到“Both these quantities could be negative, which would indicate that the rod is in compression.”，即张力为负表示杆受压力。然而在计算中，T1=2W和T2=9W都是正的，表示杆受拉力。那为什么题目说可能是负的？可能在某些位置杆确实受压，比如当系统在最高点附近时，但在这个问题中，当杆水平时和最低点时，杆都是受拉力吗？不过根据计算，当杆水平时张力是2W，最低点时是9W，所以差是-7W，所以答案是-7。但题目问的是(T1−T2)/W，即(−7W)/W=−7。但可能我的计算中哪里出错了？在初始位置，质量块在正上方，此时若以该点为零势能点，则当杆旋转θ角时，质量块的高度为Rcosθ，因此势能变化为W*(Rcosθ - R) = WR(cosθ -1)。但之前我写的是势能为-WR(1 - cosθ)，其实是一样的，即当质量块下降时，势能减少，所以当θ=90度，势能为-WR(1-0)= -WR，当θ=180度时，势能为-WR(1 - (-1))= -2WR，正确。动能计算正确，张力计算也正确，所以结果应该是(T1−T2)/W=−7，即答案是-7。但需要确认是否题目中的T2是在最低点时的张力，此时杆是受拉力，因此T2=9W，而T1=2W，所以差为−7W，即(T1−T2)/W=−7。不过，这似乎是一个比较大的数值，可能我的分析中哪里错了？另一个可能的错误是在计算张力时忽略了块的运动对向心加速度的影响。例如，质量块的加速度不仅来自自身的旋转，还包括块的运动带来的影响。或者，在计算向心加速度时，是否正确考虑了相对运动？因为在之前的分析中，我假设质量块的旋转中心是块的位置，但实际上，块本身也在移动，所以质量块的运动是相对于块的圆周运动加上块的运动。这种情况下，质量块的实际速度是相对于地面的速度，而不是相对于块的速度。不过在前面的动能计算中，已经考虑了块的移动和质量块的移动，因此是正确的。或者，在计算向心加速度时，是否应该使用相对于块的速度，还是相对于地面的速度？向心加速度的计算应该基于相对于旋转中心的实际速度。在这种情况下，质量块相对于块的旋转速度是ω，而块本身在移动，所以质量块的总速度是块的移动速度加上相对于块的速度。不过，在径向方向的加速度（向心加速度）应该由相对于旋转中心的线速度平方除以半径，即v_rel²/R，其中v_rel是相对于块的速度。但可能我之前计算中的ω是相对于块的角速度，而块本身也在移动，所以总速度需要考虑块的运动。这可能导致之前的张力计算有误。例如，在杆水平时，质量块相对于块的速度是ωR，方向垂直于杆，即竖直向下。但块本身在移动，速度为v_b = - (R/2)ω cosθ。当θ=90度时，cosθ=0，所以块的速度v_b=0。哦，这可能是一个关键点！在之前的分析中，当θ=90度时，块的位置是x_b = -R/2，此时θ=90度，所以cosθ=0，因此块的速度v_b = - (R/2) * cosθ * ω = 0。因此在杆水平时，块的速度为零，此时质量块的速度相对于地面就是相对于块的速度，即ωR。因此，此时质量块的速度是ωR，方向垂直于杆，即竖直向下。因此，向心加速度是v²/R = (ωR)^2 / R = ω² R，方向水平向左，指向旋转中心（块的位置）。所以之前的计算是正确的，此时张力T1= (W/g)*ω² R。而当θ=90度时，ω²=2g/R，因此T1= (W/g)*(2g/R)*R=2W，正确。而当θ=180度时，块的位置x_b = -R/2 sin180°=0，此时块的速度v_b = - (R/2) cos180° * ω。cos180°=−1，所以v_b= (R/2) * ω。此时质量块相对于块的速度是ωR，方向水平向左（因为θ=180度时，杆竖直向下，质量块在块的正下方，相对于块的运动方向是切线方向，即水平向左）。因此，质量块的总速度是块的速度加上相对于块的速度。块的速度是向右的v_b= (R/2)ω，而质量块相对于块的速度是向左的ωR，因此质量块的总速度为 (R/2)ω向右 + (-ωR)向左 = - (R/2)ω向左，即总速度大小为 (R/2)ω 向左。但这似乎有问题，因为当θ=180度时，质量块的运动方向应该是水平向左吗？或者，可能更准确的方法是使用之前的动能表达式。当θ=180度时，动能KE=2W R，而KE也等于两个物体的动能之和。块的速度v_b= (R/2) cosθ * ω，当θ=180度时，cosθ=−1，所以v_b= - (R/2) * (−1) * ω = (R/2) ω，方向向右。v_mx = v_b + R cosθ * ω = (R/2)ω + R*(-1)*ω = (R/2 - R)ω = - (R/2)ω （向左）v_my= -R sinθ * ω = -R*0*ω=0因此质量块的速度为向左的 (R/2)ω，而块的速度为向右的 (R/2)ω。因此，系统的总动能为：KE = (1/2)(W/g)( (R/2 ω)^2 ) + (1/2)(W/g)( (R/2 ω)^2 )因为质量块的速度平方是 (R/2 ω)^2，块的速度平方也是 (R/2 ω)^2，因此：KE = (W/(2g))*( R²/4 ω² ) + (W/(2g))*( R²/4 ω² ) = (W R² ω²)/(4g) *2 = (W R² ω²)/(2g)(W R² ω²)/(2g) =2W R → R² ω²/(2g)=2R → R ω²=4g → ω²=4g/R这与之前的计算不同，之前得到ω²=8g/R，显然矛盾，说明哪里出错了。哦，这里发现问题了！之前我在计算当θ=180度时的动能时，可能犯了错误。在之前的动能表达式中，当θ=180度时，代入的动能表达式是：KE = (W R² ω²)/(4g)(1 + sin²θ)KE = (W R² ω²)/(4g)(1+0)= (W R² ω²)/(4g)(W R² ω²)/(4g)=2W R → R² ω²=8g R → ω²=8g/R但现在根据实际速度计算，得到ω²=4g/R，这明显不一致，说明之前的动能表达式有误。这说明之前的动能表达式可能推导错误。需要重新推导系统的动能表达式。正确的动能表达式应该考虑块的速度和质量块的速度。之前我可能犯了错误，在推导动能表达式时没有正确考虑质量块的各个速度分量。块的速度v_b = dx_b/dt = - (R/2) cosθ * ω（由x_b = - (R/2) sinθ，所以dx_b/dt = - (R/2) cosθ * dθ/dt = - (R/2) cosθ * ω）v_mx = dx_m/dt = v_b + R cosθ * ωv_my = dy_m/dt = -R sinθ * ωv_mx² + v_my² = [v_b + R cosθ ω]^2 + [ -R sinθ ω ]^2= [ - (R/2) cosθ ω + R cosθ ω ]^2 + [ -R sinθ ω ]^2= [ (R/2 cosθ ω ) ]^2 + (R sinθ ω )^2= (R²/4 cos²θ ω²) + R² sin²θ ω²= R² ω² ( cos²θ/4 + sin²θ )KE = (1/2)(W/g) v_b² + (1/2)(W/g) v_m²= (W/(2g)) [ R²/4 cos²θ ω² + R² ω² ( cos²θ/4 + sin²θ ) ]= (W R² ω²)/(2g) [ (cos²θ)/4 + (cos²θ)/4 + sin²θ ]= (W R² ω²)/(2g) [ (cos²θ)/2 + sin²θ ]= (W R² ω²)/(2g) [ sin²θ + (cos²θ)/2 ]= (W R² ω²)/(2g) [ (2 sin²θ + cos²θ)/2 ]= (W R² ω²)/(4g) (2 sin²θ + cos²θ )而原来的推导中可能错误地写成了1 + sin²θ，这显然是不正确的。正确的表达式应该是：KE = (W R² ω²)/(4g) (2 sin²θ + cos²θ )2 sin²180 + cos²180 = 2*0 + (−1)^2 =1，所以KE= (W R² ω²)/(4g)*1(W R² ω²)/(4g) =2W R → R² ω²=8g R → ω²=8g/R，这与之前错误的速度计算不一致，但这里正确的动能表达式应该是这样的。块的速度v_b= (R/2)ω（当θ=180度时，cosθ=−1，所以v_b= - (R/2)(-1)ω= (R/2)ω）质量块的速度v_mx= v_b + R cosθ ω = (R/2)ω + R*(-1)ω= - (R/2)ω所以质量块的速度平方是 (−R/2 ω )^2 = R²/4 ω²块的速度平方是 (R/2 ω )^2 = R²/4 ω²KE= (1/2)(W/g)(R²/4 ω²) + (1/2)(W/g)(R²/4 ω² )= (W R² ω²)/(4g) + (W R² ω²)/(4g )= (W R² ω²)/(2g)KE= (W R² ω²)/(4g)* (2 sin²180 + cos²180 )= (W R² ω²)/(4g)*1= (W R² ω²)/(4g)而根据实际速度计算得到的是 (W R² ω²)/(2g)这说明在推导动能表达式时，可能犯了错误。正确的步骤应该是：质量块的速度v_mx = v_b + R cosθ * ω = - (R/2) cosθ ω + R cosθ ω = (R/2) cosθ ωv_mx² + v_my² = (R²/4 cos²θ ω² ) + R² sin²θ ω² = R² ω² ( (cos²θ)/4 + sin²θ )KE = (W/(2g))*( R²/4 cos²θ ω² ) + (W/(2g))*( R² ω² ( cos²θ/4 + sin²θ ) )= (W R² ω²)/(8g) cos²θ + (W R² ω²)/(2g) ( cos²θ/4 + sin²θ )= (W R² ω²)/(8g) cos²θ + (W R² ω²)/(8g) cos²θ + (W R² ω²)/(2g) sin²θ= (W R² ω²)/(4g) cos²θ + (W R² ω²)/(2g) sin²θ= (W R² ω²)/(4g) (cos²θ + 2 sin²θ )这才是正确的动能表达式。之前的错误可能是在合并项时出错了。KE = (W R² ω²)/(4g) (cos²θ + 2 sin²θ )此时，当θ=180度时，cosθ=-1，sinθ=0，所以：KE = (W R² ω²)/(4g) (1 + 0 )= (W R² ω²)/(4g)(W R² ω²)/(4g)=2W R → R² ω²=8g R → ω²=8g/R这与之前的正确推导一致，而根据实际速度计算，当θ=180度时，质量块的速度是v_mx=-R/2 ω，块的速度是v_b=R/2 ω，因此总动能：KE= (1/2)(W/g)( (R/2 ω)^2 ) + (1/2)(W/g)( (R/2 ω)^2 )= (W R² ω²)/(4g) + (W R² ω²)/(4g )= (W R² ω²)/(2g )但根据正确的动能表达式，KE= (W R² ω²)/(4g) (cos²θ + 2 sin²θ )当θ=180度时，cosθ=-1，sinθ=0，所以：KE= (W R² ω²)/(4g) *1 = (W R² ω²)/(4g )与实际速度计算得到的 (W R² ω²)/(2g ) 矛盾，这说明哪里出错了。这里的问题可能出在质量块速度的计算上。当θ=180度时，质量块的位置是x=0，y=-R。块的位置x_b=0，因此质量块的位置x_m= x_b + R sinθ=0 + R*0=0，对吗？不，当θ=180度时，sinθ=0，所以R sinθ=0，因此x_m= x_b +0= x_b=0，因为x_b=-R/2 sinθ=0。所以质量块的位置是(0, -R)。此时，质量块的速度方向如何？当θ=180度时，杆竖直向下，质量块在正下方。此时，如果系统旋转，质量块的运动方向应该是切线方向，即水平向左，因为旋转方向是从初始位置开始顺时针转动。块的位置此时是0，因为θ=180度时，x_b=0，所以块回到原点。块的速度当θ=180度时，v_b= - (R/2) cosθ * ω，cosθ=cos180=−1，所以v_b= - (R/2)(-1)*ω= (R/2)ω，方向向右。质量块的速度由两部分组成：块的速度和相对于块的速度。相对于块的速度方向是切线方向，即水平向左，大小为Rω。因此，质量块的总速度是块的速度向右加上相对于块的速度向左，即：v_mx = v_b + (-Rω) = (R/2)ω - Rω = - (R/2)ω，方向向左。所以质量块的速度大小是R/2 ω 向左，块的速度是R/2 ω 向右。因此，质量块的速度平方是 (R/2 ω)^2，块的速度平方也是 (R/2 ω)^2，总动能为：KE= (1/2)(W/g)( (R/2 ω)^2 ) + (1/2)(W/g)( (R/2 ω)^2 ) = 2*(1/2)(W/g)(R²/4 ω²) )= (W R² ω²)/(4g )这与正确的动能表达式一致，即当θ=180度时，KE= (W R² ω²)/(4g) * (cos²180 + 2 sin²180 )= (W R² ω²)/(4g) * (1 +0)= (W R² ω²)/(4g )所以之前实际速度计算中的错误在于，错误地认为质量块的速度是-R/2 ω，而块的速度是R/2 ω，两者的动能相加得到的总动能是 (W R² ω²)/(4g) + (W R² ω²)/(4g )= (W R² ω²)/(2g)，但实际上，正确的动能表达式给出的是 (W R² ω²)/(4g)，这说明实际速度计算中哪里出错了。啊，这里的问题出在质量块相对于块的速度。当θ=180度时，质量块相对于块的速度是切线方向，此时杆竖直向下，切线方向是水平方向。但此时，杆的角速度ω是相对于什么？可能之前的分析中，ω是相对于块的角速度，即质量块相对于块的角速度，而块本身在移动，因此总角速度可能不同。或者，这里可能混淆了角速度的定义。正确的处理方式是将系统视为由两个物体组成的系统，其中块的位置x_b由质心守恒确定，而质量块的运动由相对于块的运动和块的运动共同决定。可能更简单的方法是使用拉格朗日力学来推导系统的运动方程，但考虑到时间限制，我需要重新确认张力计算。当θ=180度时，质量块的总速度是向左的R/2 ω，而旋转半径仍然是R，因此向心加速度是v²/R = ( (R/2 ω )^2 )/R = R ω² /4.但根据之前的分析，此时ω²=8g/R，所以向心加速度= R*(8g/R)/4=2g，方向向上（指向旋转中心，即块的位置）。T2 - W = m * a_n = (W/g) * 2g = 2W → T2 = 3W这与之前的计算矛盾，之前得到T2=9W，显然哪里出错了。这里的问题出在向心加速度的计算是否正确。正确的向心加速度应该是相对于旋转中心的实际速度的平方除以半径。在这里，质量块的速度是相对于地面的速度，而旋转中心是块的位置，因此向心加速度应为v_m^2 /R，其中v_m是质量块相对于旋转中心的速度。当θ=180度时，质量块相对于块的速度是切线方向，即水平向左，大小为Rω，而块本身以速度v_b= (R/2)ω向右运动，因此质量块相对于地面的速度是v_m= -Rω + v_b= -Rω + (R/2)ω= - (R/2)ω，向左。因此，质量块相对于地面的速度大小为R/2 ω，方向向左。因此，向心加速度为 (R/2 ω )² / R = (R²/4 ω²)/R = R ω² /4.而根据机械能守恒，此时ω²=8g/R，所以向心加速度= R*(8g/R)/4=2g，方向向上。T2 - W = m * a_n = (W/g)*2g=2W → T2=3W这与之前的错误结果不同，说明之前计算张力时错误地使用了ω的值，而没有正确计算向心加速度。根据正确的动能表达式，当θ=90度时，KE= (W R² ω²)/(4g)(cos²90 +2 sin²90 )= (W R² ω²)/(4g)(0 +2*1)= (W R² ω²)/(4g)*2= (W R² ω²)/(2g)此时势能PE= -WR(1 - cos90)= -WR(1-0)= -WRKE + PE=0 → (W R² ω²)/(2g) - WR=0 → R² ω²/(2g)=R → ω²=2g/R此时质量块的法向加速度a_n= v_m² /R，其中v_m是质量块相对于旋转中心的速度。质量块相对于旋转中心的速度为Rω，方向竖直向下，因为当杆水平时，块的速度v_b=0（因为cosθ=0），所以质量块的速度就是Rω向下。因此，向心加速度a_n= (Rω)^2 /R= Rω²= R*(2g/R)=2g，方向向左（指向旋转中心）。此时，质量块在水平方向（径向）的受力只有张力T1，因为重力方向是竖直的，与径向方向垂直。因此，张力T1提供向心加速度：T1 = m a_n = (W/g)*2g=2W，正确。此时，KE= (W R² ω²)/(4g)(cos²180 +2 sin²180 )= (W R² ω²)/(4g)(1 +0)= (W R² ω²)/(4g)势能PE= -WR(1 - cos180)= -WR(1 - (-1))= -2WRKE + PE=0 → (W R² ω²)/(4g) -2WR=0 → R² ω²=8gR → ω²=8g/R质量块的速度相对于地面是v_m= -R/2 ω 向左，块的速度是v_b= R/2 ω 向右。质量块相对于旋转中心的速度是切线方向，大小为Rω，方向向左，因此向心加速度为 (Rω)^2 /R= Rω²= R*(8g/R)=8g，方向向上。此时，质量块的径向（竖直方向）受力为张力T2向上和重力W向下，合力提供向心加速度：T2 - W = m a_n = (W/g)*8g=8W → T2=8W + W=9W这与之前的错误结果相同，但根据实际速度计算，向心加速度应为8g，因此张力T2=9W。但之前在考虑质量块的实际速度时，得到向心加速度为2g，但这是因为错误地使用了相对于地面的速度来计算向心加速度，而实际上向心加速度应该基于相对于旋转中心的速度。当质量块相对于旋转中心的速度是Rω，方向切线方向，因此向心加速度是(Rω)^2 /R= Rω²。此时，当θ=180度时，ω²=8g/R，因此向心加速度=8g，方向向上。但之前根据实际速度计算得到向心加速度为2g，这是错误的，因为向心加速度应基于相对于旋转中心的速度，而不是相对于地面的速度。因此，正确的向心加速度是Rω²，而无论块如何移动，向心加速度都是相对于旋转中心的。因此，当θ=180度时，张力T2=9W，而当θ=90度时，T1=2W，因此T1−T2=2W−9W=−7W，所以(T1−T2)/W=−7。不过，这与之前的矛盾在于，当θ=180度时，质量块相对于旋转中心的速度是Rω，而块的速度是R/2 ω，因此质量块相对于地面的速度是Rω−R/2 ω=R/2 ω，向左。这种情况下，向心加速度的计算是否应该基于相对于旋转中心的速度，即Rω，还是基于相对于地面的速度，即R/2 ω？这显然是关键问题。向心加速度的正确计算应该基于相对于旋转中心的运动，即质量块相对于旋转中心的线速度。因此，向心加速度为 (Rω)^2 /R= Rω²，方向指向旋转中心。因此，在这种情况下，张力计算应为T2 - W= m Rω²= (W/g) R*(8g/R)=8W → T2=9W。但需要确认这是否符合物理直觉。当杆在最低点时，速度最大，因此向心加速度最大，张力最大，所以T2应该大于T1，导致T1−T2为负，结果合理。因此，最终答案是-7，即(T1−T2)/W=−7。当杆水平时（θ=90°），系统的机械能守恒给出角速度平方ω²=2g/R。此时质量块的向心加速度为2g，由张力T1提供，故T1=2W。当杆垂直向下时（θ=180°），角速度平方ω²=8g/R。此时向心加速度为8g，张力T2需克服重力并提供向心力，故T2=9W。张力差为T1−T2=2W−9W=−7W，因此(T1−T2)/W=−7。. 一根刚性、无质量的杆，两端各连接一个质量为 mm（重力为 W=mgW = mg）的物体：一端是能在水平无摩擦导轨上滑动的“滑块”，另一端是可以在竖直平面内运动的“摆锤”（或称为“小球”）。. 初始时，系统静止，小球在滑块正上方（杆竖直向上）。给小球一个极微小的水平推使其开始绕着“滑块—小球”这条杆做循环运动。因为导轨光滑，滑块可在水平方向自由滑动。. 问题问的是：当杆水平时，杆的拉力（或压力）记为 T1T_1；当杆再次竖直，小球在滑块正下方时，杆的拉力（或压力）记为 T2T_2。要求计算T1−T2W\frac{T_1 - T_2}{W}。注意题目也提示：若出现负值，表示杆受压。· 虽然看起来像一个“摆动小球”的问题，但“上端”并非固定转轴，而是一个与小球质量相同的滑块，且可在水平方向运动；不能简单地把滑块看成“固定轴承”。· 需要同时考虑能量守恒与“系统无外部水平力”所带来的动量守恒(或水平合速度关系)。由于水平方向无外力，整个系统（滑块 + 小球）的总水平动量始终为零（初始静止）。· (B) 机械能守恒（竖直）
没有摩擦，只有重力和约束力在做功；故系统机械能守恒。· (C) 在关键位置分析杆中拉力/压力
关键位置 1：θ=90∘\theta = 90^\circ（杆水平）
关键位置 2：θ=180∘\theta = 180^\circ（杆竖直且小球在下方）。结论： T1−T2W=−9\;\frac{T_1 - T_2}{W} = -9WT1−T2=−9。
（负号表示此差值为负，等价说明T2T_2T2 比T1T_1T1 大 9 倍权重。）欢迎订阅不懂经知识星球，星球新开主题专栏，个人IP的底层逻辑和顶层设计。经叔将基于多年的品牌策划和广告营销从业经验，结合麦克卢汉的媒介理论以及信息论的前沿理论，从不同的视角来重新定义个人IP。
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