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李珍，中共党员，中学一级教师。苏州市学科素养竞赛三等奖，太仓市基本功比赛二等奖，太仓市评优课比赛二等奖，太仓市学科素养竞赛二等奖，太仓市命题比赛三等奖。
本文已刊载于《教学考试》杂志（高考数学）2024年第6期。
载于《２０２４年高考已尘埃落定良久,向２０２５年高考进发的号角已吹响．圆锥曲线作为高考命题考查的核心内容,对其进行高效复习至关重要．也许部分教师会从知识框架、专题划分、复习策略等诸多方面进行全面、细致的精彩诠释和阐述,但就笔者而言,本文仅从“触动心底”的一个侧面,即“研究真题,回归教材”的方面,结合２０２４年新课标Ⅱ卷第５题来谈圆锥曲线的复习．
高考题展示
【点评】试题的解法称为代入法或相关点法或转移法,当一个动点的运动规律与另一个动点的运动有关,另一个动点的运动规律已知或易于求得,这时可将所求动点的坐标代入到另一个动点所满足的关系中,由此求得轨迹方程．寻找与动点变化相关的点,是相关点法应用的关键．需注意的是,与动点相关的点必须在确定的曲线上运动．
高考题与教材题对照
２０２４年新高考Ⅱ卷强化试题与教材的联系,着力考查学生对数学本质的理解．积极引导中学常规教学及复习备考应遵循数学教学规律,理性回归数学本源．试题在教材例、习题的基础上推陈出新,大多数试题都可以在教材中找到原型,是教材例题、习题经过加工、整合、迁移与演变而成的,上述高考题就是一个典型的例子．
教材对照题:人教A版普通高中教科书∙数学选择性必修第一册(２０１９年版)第１０８页例２．
深挖教材是王道
由上面例子可以看出,在高考数学命题深化改革的今天,通过改编、变形或创新等手段赋予教材例、习题新的生命,焕发出新的生机,演变为高考试题,已成为当今高考数学命题的一种常态化趋势．以试题为鉴,引导教师在圆锥曲线复习教与学的过程中重视深挖教材,也就是回归到对教材例、习题的变形和深层次挖掘、研究中,深挖教材是王道．那么,在圆锥曲线复习的过程中如何深挖教材?
１．深挖教材,巩固落实基础
教材中的概念(定义)、定理、公式等是数学的根基,是解答数学高考题的基础,只有熟练掌握,才能从容地应对高考,获取好的成绩．以知识结构为主深挖教材,引导学生对照教材目录回想各章、各节的内容,将具体知识点与存留在大脑中的题目联系起来,如果有模糊的地方,应及时翻看教材相应的内容,仔细品味书中的意思,还要将容易遗忘的内容及时做笔记摘抄下来,经常翻看．深挖教材,注重对教材知识的理解和掌握,应试作答时以教材内容为支撑,更容易顺利解答．
教材中的题目是编写者结合基本知识精心编拟的试题,是学好数学的基础,许多题目也是后续解决问题的工具．教材中的典型题目大多都蕴涵着丰富、深刻的背景．深挖教材,就是理解、挖掘这些背景,把经常呈现在高考真题中的“背景”挖掘出来,做到熟练领会．当遇到相关的新问题时,能够快速地迁移应用．
２．深挖教材,突出题目“变形”
突出对教材典型例、习题的改编、变形或扩展,是深挖教材的重要环节之一,引导学生改变题目的题设条件或情境、探究题目的目标结论等,使学生从不同方面、不同视角和不同情况来说明某一事物,从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”中探求规律,从而概括出事物的一般属性,这有利于培养学生灵活多变的思维品质,提高数学核心素养,培养探索精神和创新意识,从而真正把对能力的培养落到实处．
这里就以教材对照题的“变形”为例“抛砖引玉”．
３．深挖教材,把握问题本源
数学问题的本源,其实就是用来解决问题的知识、方法、规律乃至数学思想、核心素养等．深挖教材的目的,就是挖掘和把握蕴含在教材内容或例、习题中的“本源”,把这些本源性的东西弄通、吃透,无论问题怎样进行变式包装或改头换面,也无论问题如何千变万化,处理起来总能从容淡定并游刃有余．从上面的教材对照题,足以说明深挖教材,把握数学本源的重要性．因此,在数学复习中,深挖教材务必做到全方位总结知识、点拨方法、归纳规律,从而突出问题特征,揭示知识的关联,凸显概念、性质的本源．上述高考题及教材对照题的本源就是曲线与方程的关系,其背景是圆与椭圆的仿射变换．高考题、教材对照题及它的前两个变式均是利用仿射变换把圆化为椭圆,而变形３则是利用仿射变换把椭圆转化为圆．简化运算是求解圆锥曲线问题的一个十分重要的课题,对于一些椭圆可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题,这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题,从而使问题的解决过程得到大大简化．下面再以一道往年高考题来说明仿射变换在简化圆锥曲线问题中的应用．
教学启示
在高考复习教学过程中,往往会有这样一种倾向:为数不少的教师把课本“束之高阁”,脱离教材带领着学生按照复习资料搞训练,却对教材上的知识及例、习题疏于研究,这是一种本末倒置、舍本逐末的做法,着实得不偿失,也不可取．高考命题遵循“题在书外,根在书内”的原则,多数高考题源自于教材中的定理或定理中的方法,或是例、习题的重新组合、加工和拓展等．源于教材而高于教材,是历年高考数学命题的真实写照．教材是高考数学命题的重要增长点,教学中引导学生重视深挖教材,对教材核心知识及典型题目进行探索、提炼、拓展、推广,挖掘其本质内涵,把控其规律,应用其结论．唯有如此,才能逐步培养学生灵活多变的思维品质,提高数学核心素养,培养探索精神和创新意识,从而真正把能力培养落到实处．
作者：李珍，江苏省太仓市实验高级中学。
来源：本文已刊发于2024年《教学考试》高考数学6。
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