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郜舒竹 | 首都师范大学初等教育学院
《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“2022 年版课标”)在小学阶段的第二和第三学段新增了“尺规作图”的内容,一线教师在教学中面临的问题有:如何理解这一内容及其课程价值?如何在教学中实现这些课程价值?尺规作图在数学史上具有悠久的历史,其相关内容极为丰富,并贯穿于多个学段的课程内容之中,小学阶段的教学如何凸显其基础性?本文将围绕上述问题展开讨论。
“尺规作图”的起源可追溯到古希腊欧几里得(Euclid,约公元前330年—公元前275年)的《几何原本》。在当时,人们认为直线与圆(球)是构成世界万物最基本、最完美的图形,因此,他们期望通过使用制作直线与圆的简单工具,通过推理与想象去建构并描绘无限的世界。以柏拉图(Plato,公元前427年—公元前347年)为代表的唯心主义哲学家,不相信直观所见的真实,他们认为感观所见的、暂时的、不完美的世界必须被抽象的、永恒的、完美的世界所取代。
《几何原本》秉承并沿袭这样的思想,强调所有的命题都应基于已知为真的命题进行推演,因此需要确立最初的逻辑起点。在《几何原本》的第一卷中,开篇阐述了23个定义(Definition)、5条公设(Postulate)和 5 条公理(Axiom)。定义指的是所用术语的意义,例如,定义15:“圆由一条线包围着的平面图形,其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。”定义 20:“三角形中,三条边相等的称等边三角形,两条边相等的称等腰三角形,各边都不相等的称不等边三角形。”分别描述了圆以及等边三角形、等腰三角形、不等边三角形的概念。
公理与公设则是不证自明、公认为正确的命题,二者的区别在于普适性的差异。公理不仅适用于几何领域,也适用于其他科学领域,因此公理也被称为“共通观念(Common Notions)”。例如,第一条和第二条公理描述了量与量之间的相等关系。
公理1:等于同量的量彼此相等。
公理2:等量加等量,其和仍相等。
公设则是几何学内部不证自明的事实,与尺规作图直接相关,它规定了如何从给定的对象构造出确定的对象。例如,《几何原本》第一卷中的前3条公设如表1所示。
综上所述,《几何原本》第一卷中的定义、公设和公理构成了使用直尺和圆规作基本图形的基础。定义指向概念的意义,公设说明了如何作图,而公理则解释了为什么这样作图是正确的①。如果将尺规作图视为一种游戏,那么定义、公设和公理就是游戏过程中必须遵守的规则,正是这些规则确保了尺规作图成为一个严谨的推理过程。下面,以2022年版课标中的例26为例,详细阐释这一推理过程。
2022 年版课标中的例 26 所提及的“作一个给定边长的等边三角形”,实际上是《几何原本》第一卷中的第一个命题。该命题在不同中文译本中的表述存在差异,现将两种表述列举如下:
表述 1:已知一条线段可以作一个等边三角形。
表述2:在一个已知有限直线上作一个等边三角形。
二者的区别在于,是否将给定线段作为所作等边三角形的一条边。两种中译本都依据同一英文底本,即英国科学史学家希思(Thomas little Heath,1861—1940))的英译评注本《欧几里得原本13卷》,其中命题1的英文表述为:“On a given finitestraight line to construct an equilateral triangle.”
《几何原本》第一卷中的命题1可以理解为:若给定一条线段,那么可利用这条线段作为三角形的一条边,进而作出另外两条等长的边,形成等边三角形。构造过程的每一步是否可行及正确,都需依据定义、公设或公理进行验证。为了清晰描述这一过程,采用表格的形式进行展示(如表2)。
推理的最终结论是“三角形 ABC 为等边三角形”,为此必须阐明三角形的三条边是否存在,以及为什么相等。推理过程包括四个操作步骤和三个作为结论的判断,每一步操作需说明为什么可行的依据,每一个结论都需理由作为依据以阐明为什么正确。因此,可以说尺规作图的过程本质上是推理过程,推理的严谨性体现为“言必有据”,表2右侧列出的依据均源自事先规定的定义、公设和公理,因此可以相信最终结论的正确性。
对上述过程稍加变化,能够实现 2022 年版课标中例32的“给定三条线段作三角形”的作法,其中包括对三角形三边关系的探讨(限于篇幅,读者可自行完成详细的作图和证明过程)。所有这些均属于“给定线段作三角形”的问题范畴。将此过程逆向操作,便成为2022年版课标中例29的作图问题:“把三角形的三条边依次画到一条直线上。”下面用表3详细展示这一作图过程。
表3中的作图过程与表2略有不同,其中第一步“将线段AB向两端延长”的依据是“公设2”;结论3 中 DE 的长度等于三角形的周长,其依据为“公理2”。
综上所述,尺规作图的过程实际上是一个严谨的推理过程。从教育的角度来看,这种推理无疑有助于培养学生逻辑思维和论证习惯。然而,也应注意这种严谨性可能带来的问题。表2与表3中的作图及证明过程具有明显的形式化与程序化特征,只要遵循“模仿记忆、按部就班、依次执行”的原则,便能确保无误。这种严谨性可能会对教学产生消极影响,教师的“教”可能简化为“讲解—示范—留作业”,学生的“学”自然成为“倾听—模仿—做练习”,从而使得尺规作图变成一种无理解的操作过程。因此,在将尺规作图纳入数学课程与教学时,应避免仅注重推理的严谨性,同时应充分彰显其开放性的特征,引导学生发挥丰富的想象进行探索。
2022年版课标中的例26特别强调:“(尺规作图)教学中,可以让学生发挥想象力,用直尺和圆规构建各种可以实现的图形。”这表明尺规作图不仅是严谨的推理过程,也是发挥想象力、进行探索的过程。因此,对尺规作图的作法和结果,教师应持有开放性的认识,即“作法未必唯一,结果可以拓展”。
“作法未必唯一”意味着作图的过程和方法具有多样性。在数学的历史发展中,许多数学家对尺规作图方法的多样性进行了深入探索。比如17世纪丹麦几何学家乔治·摩尔(Georg Mohr,1640—1697)与18世纪意大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼(Lorenzo Mascheroni,1750—1800)分别独立发现并证明了一个结论:每一个能够用直尺和圆规作出的图形都可以摒弃直尺,仅用圆规作出。这一发现后来被称为“摩尔-马斯凯罗尼定理(Mohr-Mascheroni Theorem)”,当然这些内容已经超出了小学数学课程的范畴。下面重点谈谈尺规作图结果的拓展性。
尺规作图结果的拓展性至少体现在两个方面:一是“目标图形未必唯一”;二是“最终结论可以延伸”。以2022年版课标中的例26为例,目标图形等边三角形并非唯一,还可以作出与三角形ABC关于线段AB对称的另外一个等边三角形ABD(如图1)。
基于这样的作图结果,通过进一步的想象,可以使得最终结论得以延伸。从点C 向点D 作出线段 CD,将会与线段 AB 形成一个交点 M,直观上可以看出这个点是线段AB的中点(小学阶段依靠直观看出即可),实现了将一条线段平均分为两段,即M点将线段AB二等分(如图2)。
如果将线段二等分或在线段上确定中点视为“基本作图”,则可以以此为逻辑起点,进一步探索几何图形的诸多性质。例如,对于任意大小、形状各异的三角形,在其三边上分别作出中点,并将这些中点与对面顶点相连,可以发现这三条线段相交于同一点(如图3)。
这样三线共点的“点”也叫三角形的重心(又叫质心),是中学数学与物理课程的重要内容。因此,学生在小学阶段经历尺规作图的探索,对于与中学课程内容的衔接具有积极意义。
再以 17—18 世纪法国数学家、物理学家皮埃尔·伐里农(Pierre Varignon,1654—1722)发现的著名结论为例:在任意四边形四条边上分别作出中点,并用线段连接,构成一个内部的四边形,无论原来四边形是什么形状,该内部的四边形一定是平行四边形(如图4)。
此类现象揭示了“变中的不变”的规律性,通常所说的“探索规律”实质上是在千变万化的现象中发现这种“变中的不变”的规律。因此,在教学中引导学生发挥想象力对目标图形和最终结论进行延伸,实际上是在经历探索规律的过程。
综上所述,简单的“线段二等分”作图可应用于多种几何图形性质的探索,这种应用性可视为作图结果的“延伸”,即拓展性的纵向向度。除此之外,还可从横向向度对作图结果进行“延展”:既然给定一维的线段可以利用尺规作图二等分,那么是否可以三等分、四等分……同样,对于平面图形(如三角形、长方形、平行四边形等)的面积以及平面中的一个角,是否可以通过尺规作图实现类似的等分?
在教学中,引导学生发挥想象力,经历此类纵向的延伸与横向的延展的拓展性思考,不仅有助于学生对于相关课程内容的认识与理解,同时使得数学课程内容超越教材的局限,为学生发挥想象力提供广阔的空间和无限的可能性。
如前所述,尺规作图历史悠久、源远流长、内容丰富,其中蕴含着严谨的推理和丰富的想象。这无疑可以作为尺规作图的教学目标。同时,教师应当重视小学阶段尺规作图的基础性,主要体现在对作图工具的全面认识与熟练使用上。
在尺规作图中,“直尺(Straightedge)”与如今用于测量长度的“尺子(Ruler)”有所不同,直尺是无刻度的,仅用于构造直线或线段,不具备测量长度的功能,因此尺规作图的过程不涉及数值及其计算,而是纯粹的几何形与量的构造过程。
古希腊时期的圆规与现代圆规也有区别,现代圆规由三个部分组成:一是固定圆心的针尖;二是用于描绘轨迹的笔尖;三是可以调整针尖与笔尖距离的装置,即圆的半径。这种圆规具有准确调整与确定半径的特点,其对应的英文名称为“Fixed Compass(中译:固定的圆规)”,如图5(1)所示。古希腊时期的圆规是由线绳捆绑笔尖形成的,作圆时需固定线绳的某一点作为圆心,然后旋转笔尖描绘圆的轨迹,其特点是难以精确确定圆心到笔尖的距离(即半径),这种圆规的英文名称为“Collapsing Compass(中译:折叠的圆规)”,如图5(2)所示。
小学尺规作图教学的初始阶段,首先应安排“认识直尺和圆规”的教学环节,让学生通过操作活动对不同直尺和圆规进行比较,从而发现它们的异同。在圆规的使用教学中,应注意引导学生探索“一笔画出”整个圆的方法,这主要包括起笔位置和笔尖的运行方向。通常的做法是从靠近身体的位置起笔,沿着顺时针方向旋转笔尖,“先自内而外,再自外而内”(如图6)。
在认识直尺和圆规的基础上,就需要通过经常性的练习逐步达到熟练使用的目的。为了实现经常性的练习,可以将直尺和圆规视为具身学习活动的学具,将其应用于教科书中相关内容的教学。如在2022年版课标的第29页、第30页和第35页分别提及了小学阶段尺规作图的相关内容,并附有相应的例题(如表4)。
实际上,小学数学课程中还有许多其他内容同样适合用尺规作图进行教学。以“平行四边形的认识”为例,如果提供一个不完整的平行四边形,如图7(1)所示,即给定两条边及其夹角,让学生利用尺规作图来“补全”平行四边形。
学生只需“以B为圆心,AC为半径”以及“以C为圆心,AB 为半径”分别作圆(只需作出局部圆弧),便能找到两个圆的交点D,如图7(2)所示。接着,使用直尺连接CD和BD,即可实现“补全”平行四边形,如图7(3)所示。在作图过程中,通过圆的半径处处相等的特性,学生能够直观感受到平行四边形对边相等的性质。
总之,尺规作图不仅是画图,其英文表达为“Geometric Construction(中译:几何建构)”,这里的“建构(Construction)”包含双重含义:其一,是基于对现实世界事物的感知和想象,在思维中构建图形;其二,是将思维中的图形通过直尺和圆规的使用转化为可视化的图像,从而实现抽象思维的具体化。因此,尺规作图在沟通现实世界与思维世界之间起到了桥梁的作用,它既是对现实世界具体事物的抽象化,又是将思维中的抽象图形具体化的过程。作图过程中所蕴含的思维活动,既有严谨的推理,也有丰富的想象。将尺规作图应用于探索性学习活动的设计,对于发展学生数学的眼光、数学的思维以及数学的语言具有特殊的课程价值。同时,尺规作图的教育价值还体现在其基础性上,小学阶段全面认识并熟练使用作图工具,为后续的数学学习奠定坚实的基础。
来源:《教学月刊·小学版》(数学)2024.10
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