问题:食品店用奶糖和巧克力配制一种礼品糖,每盒中奶糖和巧克力的质量比是5:3。如果有奶糖和巧克力各60千克,奶糖用完时,巧克力还剩多少千克?再有多少千克奶糖,就可以把巧克力全部用完?
一、份数与数量的对应
多数学生的解法是先求一份奶糖的质量60÷5=12(千克),再求3份巧克力的质量12×3=36(千克),最后求出剩下的巧克力质量60-36=24(千克)。要把剩下的巧克力用完,还是按奶糖和巧克力的质量比是5:3的比例配制,所以他们用24÷3=8(千克)求出一份的质量,再用8×5=40(千克)求出需要的奶糖质量。
我们回头看看上面的解答过程,从份数角度去解答,必须先要找到与已知数量对应的份数,再求出一份的数量与其他数量。
奶糖 5份 60千克 ?千克
巧克力 3份 ?千克 剩24千克
由于奶糖和巧克力的质量比5:3是不变的,所以奶糖用60千克对应的是5份,与之对应的巧克力糖就应该是3份,继而求出所用巧克力是60÷5×3=36(千克);当要把剩下的巧克力24千克用完时,那么24千克对应的是3份,与之对应的奶糖又是5份,故有所用奶糖是24÷3×5=40(千克)。
可见,从份数的角度去解答问题,必须根据数量与份数的对应关系找准一份的数量,再根据一份的数量去求其它数量。
二、分率与数量的对应
如果我们从分数的角度去思考,就需要去寻找与分率对应的数量。上题中,第一问是要把奶糖用完,就是把奶糖60千克看作单位“1”,平均分成5份,而巧克力质量相当于5份中的3份,即所用巧克力糖是奶糖质量的3/5,60×3/5=36(千克)。所以巧克力糖还剩60-36=24(千克)或60×2/5=24(千克)。剩下的24千克巧克力对应的分率是3/5,与之对应的单位“1”(奶糖质量)就是24÷3/5=40(千克)。
单位“1” 奶糖 5份 60千克 ?千克
巧克力 3/5 ?千克 24千克
如果以巧克力质量为单位“1”,就要平均分成3份,那么第一问是要把奶糖的5份用完,就是用巧克力糖质量的5/3对应着60千克,所以60÷5/3=36(千克)就是所用巧克力糖的质量。剩下的巧克力质量是60-36=24(千克),而奶糖质量还是巧克力的5/3,所以还需奶糖质量是24×5/3=40(千克)。
奶糖 5/3 60千克 ?千克
单位“1” 巧克力 3份 ?千克 24千克
可见,从分数的角度去解答问题,必须先找准单位“1”,再根据数量与分率的对应关系求出单位“1”或其它数量。
三、比例与数量的对应
既然是按比例分配问题,如果从组成比例的角度进行思考,只需要去寻找对应的奶糖与巧克力的质量比所组成的比例,便可以解决问题。已知奶糖和巧克力的质量比是5:3,当奶糖60千克全部用完时,与需要的对应巧克力糖之比仍为5:3,于是得到5:3=60:( ),所以需要对应的巧克力糖的质量为36千克,则还剩巧克力糖60-36=24(千克)。同理,要想把剩下的巧克力用完,则需要的奶糖数量与巧克力的数量比仍是5:3,所以有5:3=(40 ):24,即还需奶糖40千克。
可见,对应思想在按比例分配问题中,是作为一种重要的数学思想方法进行应用的,再结合表格等分析工具,便可以把复杂的、抽象的数学知识简单化、形象化,最大可能帮助学生更好地学习数学。这才是我们在学习按比例分配问题时要关注的核心问题。