命题1.设函数 和常数 满足
(i) 在 内处处有左右导数, 在端点 有单侧导数且
(ii) .
将 作 周期化延拓到 , 延拓后的函数仍记作 . 则 在 上是Lipschitz 连续的且Lipschitz 常数为 , 即
命题2.设函数 和常数 满足命题1中的条件并将 以 周期延拓到 , 延拓后的函数仍记作 . 则 在 上满足Lipschitz条件且Lipschitz 常数为 . 因此 处处可以展开成经典Fourier级数:
并且这两个Fourier级数都在 上一致收敛.
❝例1.设 . 试通过将函数 在 上展开成Fourier 级数证明
证. (1) 函数 在 上显然满足命题2的条件，其中可取 .将 以 周期化地延拓到 , 延拓后的函数仍记作 . 则 处处可以展开成一致收敛的Fourier级数:
取 有，并有
所以
❝命题3.证明
证. 由例1的结论可知，本命题只需证
由于
故有
由等比级数可得
令
则有
易见 在 上 Lebesgue 可积. 因此由Lebesgue控制收敛定理有
将 换成 则有
所以
❝例2.(1) 设 为Gamma 函数 . 证明
(2) 证明
证.（1）根据Gamma 函数与Beta 函数的关系
再由 以及命题3的结论可得
(2) 作换元 ,由命题3的结论中取 有
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