柱坐标换元法. 其换元
雅可比行列式为
因此柱坐标换元
球坐标换元法. 其换元
雅可比行列式为
因此球坐标换元
例1. 求三重积分
其中是单位球.
证.（柱坐标换元法） 换元得到的积分为
其中积分区域 满足 且 。由于被积函数和积分区域都和 无关，对 积分转化为二重积分
对于给定的 ， ，则有
（ 球坐标换元法） 换元得到的积分为
其中积分区域 是矩体 ，故有
其中 是矩形，可对积分并利用凑微分得到
例2. 求 , 其中 是曲面 与坐标平面所围区域在第一卦限的部分。
解. 本题属于抽象曲面确定的三重积分问题， 换元法在这类问题起重要作用。
将曲面 化球坐标方程
由于考虑第一卦限, 即 和 , 对于第一卦限的 , 径长 具有给定的唯一正值, 于是曲面 所围成的区域为
于是
在对给定的 ，则有
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