要准备25考研的同学们，首要打怪升级的科目就是数分高代，这里我挑了30道24考研真题作为演练，下面这些题难度都不大，可以说是很普通的中等题，平时会经常训练到这个难度，可偏偏这些题能成为考场拉分项，根本原因还是自己的数学分析基础没打扎实，希望同学们好好备考。下面看题:
1.（2024.哈尔滨工业大学）设函数，其中在点的某邻域内连续，试问：
（1）为何值时，偏导数存在？
（2）为何值时，在点处可微.
解. （1）根据二元函数单侧偏导数的定义，有：
于是当，有存在
同理当，有存在
（2）根据二元函数可微的定义，有：
取其中与系数要为零，则有
故时，在点处可微.
2.（2024.武汉大学）设 是区间 上一致收敛于 的可积函数列. 证明: 在 上可积, 且
证. 由得，对有
于是 又由在可积可知,存在划分使得
由
可知 ，于是
故在可积，所以当时，有
即证.
3.（2024.东北大学）设函数满足条件：1) ；2) 存在常数 使得
若对 ，令，证明：存在，且.
证. 由条件 1 ), 有
继续下去, 对任意 有 , 所以 对 有意义.
由条件 2 ), 有
由于 收敛, 从而 收敛, 当然 也收敛. 故前 项部分和 ,当 时极限存在,即 存在.
记 . 由条件 2 )知, 满足 Lipschitz条件, 即连续. 在 中令 , 得 .
4.（2024.电子科技大学）设函数 在上二阶连续, 且满足 , 证明:
证. 由题设知
则有
另一方面, 有 . 故, 只需证明
若 在 中有零点, 则 . 显然成立.
现假设 在 上无零点, 不妨设 , 因而 严格递增. 下面分两种情况讨论.
(i). . 此时 . 由 , 得
(ii). . 此时有 , 根据 的单调性, 有 .
注: 由 , 可不妨设 . 可只考虑 (i).
5.（2024.大连理工大学）设 , 证明: 绝对收敛.
证. 取,由 ，则存在 , 当 时有
再取 , 有
故存在 , 当 时, , 所以
所以当 时,
因为 , 所以 收敛, 所以 收敛.
6.（2024.华南理工大学）设 在 上黎曼可积, 证明：
证. 由可知有界，故
将进行等分，并记作分点，记为在振幅，即
其中，由于
于是
7.（2024.中国人民大学）设 为正整数, 且函数
其中 为常数, . 证明:
证. 由于
当 时
当时上式也成立，因此
8.（2024.山东大学）设二元连续可微函数 在直角坐标下可写为 ， 在极坐标系中可写为 ，若 无零点, 求 .
解. 由题设，可知
当 时，得
故有
同理 ，其中为任意常数.
故可得
9.（2024.浙江大学）已知 , 定义, 证明: 在 处连续当且仅当 .
证. 本题只需证 . 由于 是奇函数 ，所以
由于 在 上连续，所以有界. 故 ，即
另外 在 处右连续，可知
故对 ，则有
因此取 ，则对 ，有
即证,因此在处连续当且仅当，即.
10.（2024.厦门大学）求曲线积分
其中是被积函数定义域内从到的逐段光滑曲线.
解. 令
则在定义域 有连续的偏导数, 且故积分与路径无关. 这里为二连通区域是唯一的洞,故在围绕该洞任一路径上逆时针方向积分一周,其值相等. 不妨取圆周 ,可得
11.（2024.中国科学技术大学）设 , 数列 满足 , 若存在极限 , 则 收敛于 .
证. 由于 , 则有 , 所以有 . 又
则有
上式两端同时取极限可得 .
12.（2024.湖南大学）计算曲面积分
其中 为 在第一封限的部分.
解. 设球面的单位外法向量为 ，利用两类曲面积分计算公式得
13.（2024.重庆大学）若函数列 在闭区间 上逐点收敛于 .
(1) 假设每个 都在 上连续, 且 一致收敛, 证明: 在 上连续.
(2) 假设每个 都在 上 Riemann 可积, 且 一致收敛, 证明: 在 上 Riemann 可积.
(3) 假设每个 都在 上可微, 存在常数 , 对任意的 和正整数 , 都有 .证明: 在 上一致收敛.
证. (1)对固定，由于可得
由在连续可知
所以当时，有
即证在处连续，再由的任意性可知在上连续.
(2)对，由于可得
又由知存在分划使得，再由
可知，于是
即证.
(3) 取，使得，并将进行等分，记分点为，则由及Cauchy收敛准则得
于是当时，对有
则有
即证在上一致收敛.
14.（2024.中南大学）设 一阶连续可导, 且满足对任意的 , 有 , 证明: 恒为常数.
证. 由于满足
因此对有
则可知处处可微，且，因此是常值函数.
15.（2024.哈尔滨工业大学） 求
其中 是 的整数部分.
解. 令 为区域 的体积 . 则
所以
若取正实数，对任一实数 , 存在自然数 , 使 , 则
从而
16.（2024.哈尔滨工业大学）设，求极限
解. 考虑使用洛必达，则需通分
然后分子、分母分别求导，虽然能做出来但较繁。
不如换个思路，先作代换，利用泰勒公式得
因此
令，则等价于，则
17.（2024.中国海洋大学）设在上连续，，证明任意的正整数，必存在，使得
证. 令，于是
对上述式子求和得
因为在上连续，故由最值定理知存在最小值，最大值，使
所以
即由介值定理知存在，使，即
18.（2024.厦门大学）设函数 具有连续导数, 且 , 求极限
其中 为 所围成的区域.
解. 在球坐标系, 积分区域可以用不等式描述上述形式描述为:
所以三重积分为
由于 具有连续导数, 故
19.（2024.重庆大学）已知三元函数 在 上具有连续的二阶偏导数, 设 中光滑简单封闭曲面的全体为 , 对于, 用 表示 的外法线单位方向向量, 表示 沿 的方向导数.
当且仅当 .
(1) 证明: 在 上满足
(2) 设 为 上的调和函数, , 且 围成的有界闭区域记作 , 证明:
其中 为 内部的一个定点, ,其中 表示两向量的夹角, 表示向量 的模长.
证明:
(3) 若函数 和 在单位球 上满足
证. （1）由两类曲面积分与高斯公式可得
所以.
（2）由题设得
任取 为半径，为半径单位球面，使得 ,利用高斯公式得
由于且，即
令可得上述结果为.
（3）利用球坐标变换和高斯公式以及题设条件
则可得
其中球面区域.
20.（2024.东南大学）设正项级数发散，以表示为前项和.证明：
（1） 发散;（2）收敛;
（3） 发散：（4） 收敛.
证. （1）由于
故存在取,由于从而存在使得故由Cauchy准则知发散.
（2）因为
显然收敛，故由比较判别法知收敛.
（3）首先来进行下面的估计：
又因为是发散的，故存在使得从而上面的估计式从而由Cauchy准则知发散.
（4）由于故收敛.
21.（2024.浙江大学）已知函数 在 连续,定义在 上的函数列满足 连续,且
证明：函数列在 上一致收敛于 0 .
证. 由题设 和 连续，可设存在正常数 和 使得
下证 ，有 .
可利用数学归纳法. 当 时，
成立；假设命题当 时成立，则
所以当 时命题也成立.
故对有
由于 ，由Weierstrass判别法知 于.
22.（2024.西安交通大学）设绝对收敛，条件收敛，则柯西乘积收敛到.
证. 记注意到
从而有设对于当,,则
再由得证.
23.（2024.南开大学）设 是一个收敛的正项级数, 令 , 若 在 上满足利普希兹条件, 即存在常数 , 使得对任意实数 , 都有
证明: 级数 收敛.
证. 由于 是一个收敛的正项级数, 且 , 即 关于 一致收敛.
令 , 由利普希兹条件可得
故有
所以
故 前 项和有界, 即级数 收敛.
24.（2024.华南理工大学）设参数 , 讨论广义积分 的收敛性(包括条件收敛和绝对收敛 ).
解. 由于
当时，有，则当时，即当有收敛且为绝对收敛.
当时，有，而收敛，所以绝对收敛。
当时，由于在单调减少且趋于0，又
由Dirichlet判别法知收敛，但
可知条件收敛.
故当时条件收敛，当时绝对收敛，当发散.
25.（2024.中国海洋大学）证明 , 计算.
证. 因为
两边同时对 在 积分得
由 Dirichlet 判别法知 存在, 因此
再由 Riemann-Lebesgue 引理知
因此
故
26.（2024.湖南大学）将周期为的函数展开为傅里叶级数.并求
解. 可以求得
令可以求得接下来利用Parseval等式有：
从而得到
27.（2024.武汉大学）设 在 上三次可导, 且 与 均存在, 证明:
证. 设 . 由于 在 上存在有三阶导数，则任取 泰勒展开，则有
由于结论中不包含自变量的取值，于是取 :
其中 ，两式相加，得
由于 存在，所以
对(***)两端取 的极限，有
再对(*)两端取极限，可得 ，即 存在，并且 . 由拉格朗日中值定理，有
两端取极限，则有 ，即 . 所以
28.（2024.电子科技大学）设 ,已知 为正项数列, 且满足
证明: 对, 有 .
证. 由条件可知，从某项开始 单调递减，即. 若 ，则当 充分大时，有
因为 发散，所以 也发散. 但此时级数显然收敛到 ，矛盾! 所以应该 .
令 ，则有
因为 ，所以由上式及条件可知:
因此由开始所证，可得. 即对 ，有
29.（2024.中国人民大学）计算三重积分
其中 是由曲面 和平面 及 围成的区域.
解. 可知 在平面上的投影区域:
因此
30.（2024.大连理工大学）证明: 收敛.
证. 由于被积函数在 时大于 0 , 因此只要研究变上限积分在 上的有界性. 若有界则收敛, 否则即发散, 又因 单调增加, 因此只要观察 在一列趋于无穷大的点上的函数值序列是否有界即可.
取 , 则可分解积分为
对于 可估计如下 , 其中对于区间 上的 利用 Jordan 不等式可得
由于
与 无关, 可见 有界, 从而函数 在 上有界, 因此 收敛.
近年来我写的八本书，可见推文简要介绍下我的7本书+大学生数学竞赛习题题解，欢迎订阅。数学考研3本，数分高代讲义（2025考研版）+近五年名校真题集；竞赛类3本，蒲和平竞赛课后解析+竞赛讲义+竞赛习题集题解；补充学习2本，积分不等式葵花宝典第五版和历年五届八一赛解析。
