北京大学 2020-2021学年第1学期高等数学 B 期末试题
考试时间 2021年1月14日上午,满分 100 分
1.(15分)（极限题）下面的极限存在吗？如果存在，求出极限值。如果不存在，写出理由。
（1）（5分）
（2）（5分） 二元函数的极限
（3）（5分） 二元函数的极限
2.(15分)(极值题)求出闭区间 上的一元函数 达到最小值的所有 上的点。
3.(20分)（泰勒多项式题）
（1）（15分）设 是实数， 。求出二元函数 在点 处的二阶泰勒多项式。
（2）（5分）设 为正整数，函数 在 中每点都有 阶导数，定义二元函数 为
求出 对 的一阶偏导函数 .
4.（10分）（隐函数题）证明：对任意给定的实数 ，存在点 1 的开邻域 ，存在点 1 的开邻域 ， 存在唯一的函数 , 满足方程 。
5.(15分)（应用题）设在空间 中 平面之外的点 处的电势 ，求出在点 处，电势 下降最快的方向上的单位向量。
6.(25分)（空间解析几何与多元函数综合题）设空间 中的平面 与 轴， 轴， 轴分别交于三点 . 中一个动点 与平面 保持恒定的距离 在平面 上的垂直投影记为 。假设 是在以 为顶点的三角形 之中, 到三条边 的距离分别记为 .
（1）（5分） 求出三角形 的面积。
（2）（5分） 用 表示以 为四个顶点的四面体的表面积 。
（3）（5分） 写出变量 必须满足的约束条件。
（4）（10分）求出以 为变量的函数 的条件极值的稳定点。
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