1.设 在 上连续, 且 ,证明：
(1) 设 , 则 , 使得 ;
(2) 在 上有界.
证. (1)由 得对 ，，当时，有
即
故对 ，有
因此只要取，当时，就有
现在取，使得，又因为，即对，，当时，有
即
故对，有
因此只要取，当时，就有
现取，使得，因为在上连续，由介值定理得存在，使得
(2) 对，当时，有
对，当时，有
令，则当时有
当时有
因为，由最值定理得，存在最小值与最大值，使得
令，，对有
所以在有界.
2.求
解. 记数列的第项为 ，那么有 ，其中，于是问题就转化为求 .下面用数学归纳法证明：.
(1) 当时， 成立；
(2) 当时，假设 成立，则时，
因此 对都成立，令 ，则有
于是在上递增，又因为
于是，即
于是得数列单调递增，又因为 有上界，故由单调有界原理知存在，设其值为，对递推式两端取极限得
解得 并且是方程唯一的根，故
3.设函数 在 上二阶可导, .
(1) 方程 在 内至少有一个实根;
(2) 方程 在 内至少有两个不同的实根.
证. (1)] 因为，所以由极限的局部保号性知，有.不妨设，而且在上连续，由零点存在定理可知存在使得，即方程在内至少有一个实根；
(2) 由题意可知.且在上满足罗尔定理的条件，所以存在点使得，构造函数， 则有
分别在上使用罗尔定理得:存在点使得，存在点使.因此方程在内至少有两个不同的实根.
4.设 , 在闭区间 上单调递增, 且 . 则存在 使得 .
证. 由题设与分别位于直线的上下方，取中点，若点在直线上，存在闭区套使两端点位于直线上下各一点，有
由闭区间套定理，总存在，且.
根据在上单调递增，对有，且
又，即
因此.
5.设 在 上有连续的导函数, 且
求证: .
证. 对，，当，有，构造，由柯西中值定理，存在使得
即
由可知，即证.
6.设 在 上连续, 且 , 证明
证. 由可得
然后由在上连续，最小值为知存在使得,那么，存在使得有.令则有，那么
由的任意性
则
因此极限存在，且
7.设 , 从 轴的正向去看它的逆时针方向取为正向, 计算曲线积分
解. 取为平面，取上侧，则面的投影为椭圆区域
也就有因此由Stokes公式可得
8.设 在原点附近二次连续可微, 证明
证. 由泰勒公式可得
由于在原点附近二次连续可微，故其二阶偏导数在原点附近有界，因此由，则有
故
其中，由连续性，可得
9.若二元函数 及其偏导数 在矩形区域 上连续, 则函数 在 上可微, 且 .
证. 设，对充分小的，有 ，于是
由微分中值定理及在有界闭域上连续，从而一致连续，即有，只要，有
其中，所以当时
所以在 上有.
10.讨论级数
收敛性, 并求级数的和.
解. 易知当时，级数发散；当，则由Dirichlet判别法知级数发散.为了求的和，我们要考虑幂级数，其中收敛半径，即，有
可得
因此
近年来我写的八本书，可见推文简要介绍下我的7本书+大学生数学竞赛习题题解，欢迎订购，谢谢支持！数学专业考研3本，数分高代讲义（2025考研版）+名校真题集（2025考研版）；数学竞赛3本，蒲和平竞赛教程第一版的课后解析+竞赛讲义+竞赛习题集题解；补充学习2本，积分不等式葵花宝典第五版和历年五届八一赛解析。
