例1. 试问双叶双曲面上是否有无限多条抛物线？如果是，请给出这些抛物线焦点构成曲面的方程，如果不是请说明理由.
引理: 平面 与双叶双曲面 的截口曲线为抛物线当且仅当
引理的证明：
设平面 的法截式方程为 , 其中 ,记 以及 ， 于是取坐标变换
以及对偶变换
将原双叶双曲面
变换为二次曲面
其中
因为变换后的 坐标恒等于原平面的法截式方程 ，故变换后双叶双曲面 的截交线可由不含 的二次柱面来代替截得，即
于是 的二次项系数矩阵是 的一个分块矩阵
所以判断截交曲线是否为抛物线即考察 的行列式 是否等于零,再讨论 是否等于能零, 综上可得引理.
回到问题中, 构造一个与双叶双曲面 的截口曲线为抛物线的平面, 其法截式方程为
其中 . 联立可得
则平面与双叶双曲面的截交线可表示为
将 看出未知数, 并选取适当的有理参数 将 参数化, 可解的
明显看出是一条抛物线，再利用抛物线的焦点位矢公式（可通过求曲率极大值点确定出对称轴，再构造焦距的方程求得）可得
则可获得抛物线焦点的参数方程
将 代入即可得出曲面的参数方程.
例2. (1) 在平面直角坐标系中，什么样的区域内有同一条抛物线的三条法线经过？
(2) 在空间直角坐标系中，请讨论空间点被椭圆抛物面 法线经过的不同法线数目，并求出区域的边界曲面.
解. (1) 在 处法线的方程为
假设 在法线上, 则满足方程
这是关于 的三次方程. 计算判别式:
（值得注意的是， 是抛物线的渐屈线方程.）
如果 ，式（1）关于 有 3 个相异的实根，满足不等式 的点在渐屈线的上侧; 如果 , 式（1）关于 有 3 个实根, 其中 2 个根相等, 满足方程 的点在渐屈线上; 如果 ，式（1）关于 有 1 个实根，满足方程 的点在渐屈线上侧.
综上，渐屈线上侧 有同一条抛物线 的三条法线经过.
(2) 在 处法线的方程为
假设 在法线上，则满足方程
解第二个方程, 可得 , 代入第一个方程消去 , 得到关于 的五次方程
因此最多有五条法线经过空间同一点. 计算判别式即为边界曲面方程.
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