前天推文十九道微分方程考题，也看有同学私聊我解答，正好今天有时间就将其分享大家，这里第13和14题是浙大之前的考研压轴题，像第10和16题考研竞赛可以做做，其它题可以当做常微分和数学物理方程期末考试题。
1.求方程的解
解. 令，可将方程简化为，然后两边对求导得
即
由，得，即，然后代入简式中得，即方程的含参数形式的通解为：
又由，可得，即是方程另解.
2.利用贝塞尔方程表达微分方程 的通解.
解. 令，代入方程中可化简为
因此原方程的通解为
3.利用两种方法求下列方程初值问题的解:
解. （方法一）特征方程，即特征根，设特解为，代入得，即通解为
代入初值条件得，即初值问题的解为（方法二）利用拉普拉斯方法，令，方程两端取拉普拉斯变换得
即
经过拉普拉斯变换，可知
4.解贝塞尔方程
解. 方程的贝塞尔方程，有通解
由
即有
同理
可得
即通解可写成
5.解勒让德方程
解. 方程有幂级数解，将其代入原勒让德方程可知
由递推公式得
从而得
其中
因此可得到勒让德方程的幂级数解
6.假设 是二阶齐次线性微分方程
的解, 这里 于区间 上连续. 试证: 方程的通解可表示为其中 为任意常数, .
证. 利用常数变易法，设为方程的解，代入方程得
令，可得，即，则有
再积分得
则方程的解为
其中为任意常数，.因解有两个独立的任意常数，故解为二阶齐次线性微分方程的通解.
7.证明方程
没有极限存在, 其中 为常数, 且 .
证. 令，则该微分方程变成微分方程组
即，于是有
如果取，使得
不变号，则可证明不存在任何周期解及极限环.观察可得当取时有
即在全平面上不变号且在任意子域不恒为零.故方程不存在任何周期解及极限环.
8.求下列两个 Euler 方程
的通解.
解. 以第二个为例求解，由可化简为欧拉方程形式
令，则有
将其化二阶常系数的非齐次方程
对应的齐次方程的通解为
注意求非齐次方程特解的常系数变易公式的核为
故特解为
回到原来的变量，即原方程通解为
9.设 满足定解问题
试求 .
解. 记，对方程及条件取傅里叶变换，得
求得此常微分方程的解，取反变换且由卷积定理及公式得
即得解
10.设 为连续函数, 求如下积分方程的解
解. 由题设得，即
则等价于
即，则
所以
因此
11.求解方程组
解. 作辅助未知函数,使上式化为新未知函数的线性常系数方程。令，则
因此原方程组化为
第一个方程通解为，则原方程的一个解为
考虑到
即
则第二个方程通解为
12.求解方程
解. 作变量代换，利用齐次性质将其化为不含新的自变量的二阶方程，则有
代入原方程得
对上式化简
令，则有代入上式中
当得，然后两边积分得，即通解为； 当，可得原方程特解为，但它包含在通解之中.
因此原式方程的解为
13.利用压缩映象原理证明：当 充分小时, 积分方程
存在唯一的解, 其中 在 上连续.
证. 作函数的集合
以及的映射：对于，有
记，选取使得满足
考虑到
所以，即映射是压缩的。由压缩映象原理证得映照在中存在唯一的不动点，即
故当，原积分方程在上存在唯一解，证毕.
14.设 在 上连续, 在 上连续, 构造如下函数列:
证明: 当 足够小时, 函数列 收敛于一个连续函数.
证. 定义映射
由于在上连续，则存在，，即
当时，为压缩映射，而关于距离是完备的距离空间，故存在唯一的不动点，即序列收敛于一个连续函数.
15.求解方程: .
解. 这是一个关于的二次齐次方程，显见是其特解；对，令，即有
代入原方程有
这是关于的线性方程，解得
则原方程的解为
16.已知在方程 中, , 且 ,求证: 这个方程的每个解当 时都趋于零.
证. 首先这个方程的每个解可表示为如下形式：
若收敛，记这个极限为，则
因为，所以，又若发散，则
这里用到了的条件，即证.
17.定义 的分布函数, . 求证: 对 , 有
证. 记，即在时，，其余时候为.
18.设 是 上的调和函数, 则对 有
证. (这个定理也称球上的Harnack不等式)假设，Possion公式：
对，我们有：，则有
再由u的均值性，有，即
对于不等式右侧是同理的，因此结论得证.
19.求解边界问题
解. 原方程组对应的齐次方程的基本解组为，朗斯基行列式为，即单侧格林函数为
基本解
取格林函数为
选取与使它满足边界条件，可求得
解方程组得
则当，有
同理可求得当时，有
因此所求格林函数为
此时边值问题的解为
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