北京大学 2020-2021学年第1学期高等数学B期末试题解答
考试时间 2021年1月14日上午,满分 100 分
1.(15分)（极限题）
下面的极限存在吗？如果存在，求出极限值。如果不存在，写出理由。
（1）（5分）
（2）（5分） 二元函数的极限
（3）（5分） 二元函数的极限
解.（1）直接洛或泰勒等价无穷小都可以
（2）沿着射线趋于，则
极限与有关，故极限不存在。
（3）由于
利用二元函数极限的夹逼法则可得
2.(15分) （极值题）
求出闭区间 上的一元函数 达到最小值的所有 上的点。
解. 由题设可知在上连续，在处不可导，且
再求 的稳定点
化简有，由于，故，即稳定点为，且
所以达到最小值的所有 上的点为.
3.(20分)（泰勒多项式题）
（1）（15分） 设 是实数， ，求出二元函数 在点 处的二阶泰勒多项式。
（2）（5分）设 为正整数，函数 在 中每点都有 阶导数，定义二元函数 为
求出 对 的一阶偏导函数 .
解.回顾下二元函数的二阶泰勒展开，对于二元函数 在点 处展开式为:
转换为矩阵形式为
（1）对于二元函数 有
故在点 处的二阶泰勒多项式
（2）显然
4.（10分）（隐函数题）
证明：对任意给定的实数 ，存在点 1 的开邻域 ，存在点 1 的开邻域 ， 存在唯一的函数 , 满足方程 。
证. 设 ，则 。由于
当 时，则有 ，由于在连续，可知存在隐函数，使得，且。 当 时，则 ，即 。
5.(15分) （应用题）
设在空间 中 平面之外的点 处的电势 . 求出在点 处，电势 下降最快的方向上的单位向量。
解.由于
所以
其单位向量为
6.(25分) （空间解析几何与多元函数综合题）
设空间 中的平面 与 轴， 轴， 轴分别交于三点 . 中一个动点 与平面 保持恒定的距离 在平面 上的垂直投影记为 。假设 是在以 为顶点的三角形 之中, 到三条边 的 距离分别记为 .
（1）（5分） 求出三角形 的面积。
（2）（5分） 用 表示以 为四个顶点的四面体的表面积 。
（3）（5分） 写出变量 必须满足的约束条件。
（4）（10分）求出以 为变量的函数 的条件极值的稳定点。
解.（1）由于
所以
（2）由于三角形 的三边长
故以 为四个顶点的四面体的表面积
(3) 变量 必须满足的约束条件为
（4）利用拉格朗日数乘法，记，为条件极值，设辅助函数为
故有
由于
所以 是 的严格单调上升函数，因此
所以, 以 为变量的函数 的条件极值的稳定点
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