中国科学技术大学2024年现代偏微分方程期末试题
1.(1).(10 分) 设 有界区域, 考虑极小曲面方程 , 其中
记 , 求证: .
(2).(10 分) 设 有界区域, 考虑平均曲率方程
即 , 其中 , 求证:
其中 依赖于 . (Hint: 考虑辅助函数 充分大.)
2.(Harnack's 不等式) 设 有界区域，且满足
若 是 in 的解.
(1).(10 分) 求证: 对 , 有 , 其中 依赖于 和 .
(2).(5 分) 求证: 对 连通, 有 , 其中 依赖于 和 .
3.(Pohozaev 恒等式) 设 是方程
的解，其中 关于原点 是星状的且 .
(1).(10 分) 求证:
其中 是 的单位外法向.
(2).(5 分) 求证: 若 , 则 in .
4.(1).(10 分) 设 满足
求证: 可以延拓到 上使得 in .
(2).(10 分) 设 有界光滑, , 求证:
其中 依赖于 .
5.设 是有界光滑区域， ，若 是方程
的解, 光滑;
(1).(10 分) 求证:
其中 依赖于 .(Hint: 乘 积分.)
(2).(10 分) 求证:
其中 依赖于 .(Hint: 乘 积分.)
(3).(10 分) 求证:
其中 依赖于 .(Hint: 方程关于 求导后, 乘 积分.)
6.(1).(10 分)(有限传播速度) 设 是 in 的光滑解, 设 , 记
求证: 若 in , 则 in .
(2).(10 分) 设 有界光滑, , 设 是方程
的光滑解, 其中 是有界函数, 求证: in .
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