这是以前发的一篇文章，发现里面有一个错误，所以纠正重新发一下。
感觉很久没写数学方面的科普文章了，这让人忘记了我其实是一个教微积分（calculus）的数学老师。数学一直是我比较喜欢的一门学科，喜欢它的纯粹，喜欢它的美。相对于其他学科而言，数学是极致的纯粹逻辑，是人类本身的理性规定，数学之美即是人类纯粹理性之美。
今天简单给大家介绍一下如何用复数巧解一些有趣的数学问题。复数是比实数范围更大的数，一般形式为Z=a+bi，其中i是虚数，满足i2=-1。复数一般在可以在如下的复平面（Argand diagram）表示。
其中Re表示实轴，Im表示虚轴，根据著名的欧拉定律有如下等式成立：
Z=a+bi=r(cosθ+isinθ)=reiθ
复数在复平面上既是一个点，也是一个向量，所以其运算遵循一般的代数运算也遵循向量的运算法则。比如两个复数相加可以理解为两向量相加，如下图所示：
两个复数相乘，利用向量的指数形式计算更容易，如下所示：
arg(z1z2) = argz1+argz2
两个复数相乘，相当于其模（modulus）r相乘，辐角（Argument）θ相加，如下图所示：
同样在复数范围内，无穷级数（Infinite geometric series）的基本结论也成立。如下：
S=1/(1-z) (|z|<1)
有了这些工具我们就可以来解一些有趣的数学问题了。
第一题：2015 AMC 12B Problems/Problem 25
Problem
A bee starts flying from point P0. She flies 1 inch due east to point P1. For j≥1, once the bee reaches point Pj, she turns 30o counterclockwise and then flies j+1 inches straight to point Pj+1. When the bee reaches P2015 she is exactly a√b+c√d inches away from P0, where a, b, c and d are positive integers and b and d are not divisible by the square of any prime. What is a+b+c+d ?
解答：该题如果用代数的方法计算则非常的复杂，而且计算量非常大。可以尝试利用复数的向量方法来计算。先画示意图，如下所示：
小蜜蜂每次逆时针转30o，相当于在原来复数的基础上乘以eiπ/6。假设x=eiπ/6，蜜蜂起始点是复平面的原点（origin），则蜜蜂在复平面上的位置Pk满足一下关系式：
1+2x+3x2+4x3+...+kx(k-1)
我们需要求P2015的位置，则有：
S=1+2x+3x2+4x3+...+2015x2014
这是一个典型的arithmetico-geometric series，所以通过一下运算步骤即可：
根据三角函数的周期性，可得x12=1，所以x2015=x11=x-1。因此可得：
因为|x|=1，根据复数模运算的基本法则，可得：
|S|=2016/|1-x|
将x=eiπ/6=√3/2+i1/2代入计算可得：
|1-x|=(√6-√2)/2
故有：
成立。因此a+b+c+d=1008+2+1008+6=2024.
继续来看一个有趣的问题。
2020 AIME I Problems/Problem 8
Problem
A bug walks all day and sleeps all night. On the first day, it starts at point O, faces east, and walks a distance of 5 units due east. Each night the bug rotates 60o counterclockwise. Each day it walks in this new direction half as far as it walked the previous day. The bug gets arbitrarily close to the point P. Then OP2=m/n, where m and n are relatively prime positive integers. Find m+n.
解答：这道题同样的如果用代数方法去做会非常麻烦，读者可以尝试一下，这道题与上一道题的情境非常类似，但级别却高了不少，这道题是2020年美国数学邀请赛（AIME）的第8题，在这里我们依然采取复数向量的方法来解决。
首先，依然画图，如下所示：
小虫子每次逆时针转60o，相当于在原来复数的基础上乘以eiπ/3。小虫子起始点是复平面的原点（origin），则小虫子在复平面上的最终位置P满足以下关系式：
这是个典型的无穷几何级数问题，利用几何级数的计算公式可得：
最后计算这个复数的模，可得：
因此，最终答案为：m+n=100+3=103.
怎么样，很棒吧！学起来吧！
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