最近大家看我公众号都是经济史，估计都要看吐了。那就给大家写写简单的数学吧。今天给大家介绍的是一道牛津大学/帝国理工学院的入学考试题，难度并不大。
那就上题吧。
解析：这道题是关于取整函数的积分。向下取整函数以前有介绍过，感兴趣可以参考：数形结合巧解取整函数难题。⌊x⌋表达的意思是小于或者等于x的最大整数。比如⌊1⌋=1，⌊1.3⌋=1，⌊-0.5⌋=-1等等。其图像如下图所示：
所以这道题我们得先考虑在x在（0，2）范围内⌊log2x⌋的取值情况。了解log2x函数的同学肯定知道下面的公式：
logaa=1，logabn=nlogab
所以在log2x取整数的值可能是：log22，log21，log2(1/2)，log2(1/4)，log2(1/8) ...log2(1/n)...。因此可以将区间（0，2）分为[1，2)，[1/2，1)，[1/4，1/2)，[1/8，1/4)...，⌊log2x⌋在这些区间的取值分别是0，-1，-2，-3，-4...。其图像如下所示：
其中黑色代表y=⌊log2x⌋，桔红色代表y=log2x。
所以原函数：
F(x)=(3/4)⌊log2x⌋的取值情况也是一系列的水平直线，具体如下：
...........
依此类推。此函数图像如下：
到了这一步，其实题目已经很简单了，积分本质上就是求黎曼和（Riemann sum），如下所示：
所以，所求的积分就是将区间内的这些长方形面积相加就可以，如下所示：
所求积分=1×(2-1)+(4/3)×(1-1/2)+(4/3)2×(1/2-1/4)+...
化简之后为：1+2/3+(2/3)2+(2/3)3+...
很显然这是一个无穷几何级数，r=2/3<1，可以很快求出其结果为3。
美国著名物理学家费曼说：“你最好学学微积分，它是上帝的语言。”微积分真的很棒哟，去学学吧，如果没啥事的话。
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