在三角函数中对于特殊角的计算是很简单的，熟记0到π/2的特殊角的三角函数值即可，其他特殊角都可以通过单位圆或者对应三角函数图像简单推导出来。但是对于一些非特殊角的三角函数值就没那么简单了。
在这篇文章Wittt给大家介绍计算非特殊角式子cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=？的三种解法。
方法一：常规解法
常规解法利用基本的三角函数公式求解。这里会利用到一个不太常见的三角函数公式，如下所示：
sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a−b))
当然学过三角函数的同学都很容易推出这个公式，将sin(a+b)和sin(a−b)展开然后相加再除以2就OK了。有了这个公式我们可以对要求的式子做一个简单的变换：
sin(2π/7)(cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7))/sin(2π/7)
将上式的分子的sin(2π/7)乘进去利用前面的公式进行化简得：
[1/2sin(4π/7)+1/2sin(6π/7)-1/2sin(2π/7)+1/2sin(8π/7)-1/2sin(4π/7)]/sin(2π/7)
利用诱导公式：sin(π-x)=sinx以及sin(π+x)=-sinx，化简上式得：
[1/2sin(4π/7)+1/2sin(π/7)-1/2sin(2π/7)-1/2sin(π/7)-1/2sin(4π/7)]/sin(2π/7)=-1/2
即：cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2
方法二：欧拉定理
复数解法的思路是将三角函数化为复数形式，这个转化需要用到著名的欧拉定理，如下所示：
eiθ=cosθ+isinθ
最美公式：eiπ+1=0，就是将上式的θ=π得到的。有了这个公式，我们可以得到其共轭表达式：
ei(-θ)=cosθ-isinθ
将上述两式左右分别相加可得：
2cosθ=eiθ+ei(-θ)
则：cosθ=(eiθ+ei(-θ))/2，则：
1/2(ei2π/7+ei(4π/7)+ei6π/7+ei(8π/7)+ei10π/7+ei(12π/7))=-1/2
即：cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2
方法三：单位根法
形如xn= 1的方程，其解很有特点，一般形式如下：
x0+x1+x2+...+xn-1=0; 即：1+ω+ω2+...+ωn-1=0
xn=1的方程有n个解（复数解和实数解，其中实数解最多两个：1和-1，复数解肯定成对出现，每对都是共轭复数（x+iy与x-iy是一对共轭复数）），这n个解将单位圆平分，而且这n个解之和为0。其证明很简单，在这里不再证明。举个例子，如下图所示：
很显然这个最简单的方程的解符合上面的表述。根据这个基础知识，可解如下方程：
x7=1
该方程有7个解，只有一个实数解即：x=1。其他六个解是三组共轭复数解，具体可以将这7个解写出来：
1，e2πi/7，e4πi/7，e6πi/7，e8πi/7，e10πi/7，e12πi/7
如果画图，应该如下图所示：
根据上述分析，可得：cos(2π/7)=cos(12π/7)，cos(4π/7)=cos(10π/7)，cos(6π/7)=cos(8π/7)，当然也可由诱导公式得到。再利用所有解之和为零这个结论可得：
2(cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7))+1=0
其中三对共轭复数解的虚部相加相互抵消为0，即可解得：
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2
牛逼吗？
