你知道吗？
中文有“对偶”的修辞手法，如果上下两句话字数相等、结构相同、字词意义相对，这两句成对的句子就可以叫“对偶句”。而在数学中，也有对偶的概念！甚至一些意想不到的东西都能有对偶形式。
一个迷宫变出另一个迷宫
倒数是成双结对出现的。相反数是成双结对出现的。反函数是成双结对出现的。这些是一些比较简单的“成对”关系。在数学里，还有很多更深层次的成双结对的关系，数学对象、概念、结构、定理，竟然也都有可能存在与诗句对偶类似的成双结对的关系。也就是说，不仅语文里有“对偶”的修辞手法，数学术语里也有一个“对偶”（duality）的概念。
俗话说，一个朋友一条路，一个冤家一堵墙。这两句话中，有两对意义相对的词语：“朋友”对“冤家”，“道路”对“围墙”。迷宫就是由道路和围墙组成的，可能以前你只是把迷宫当成一个游戏来消遣，可在图论学家眼里，迷宫不只是游戏，它还大有乾坤。
观察下面这个迷宫。这是一个由黄色道路和紫色围墙组成的迷宫，你的目的是从入口进去，到达五角星所在的地方。我知道，你肯定要先把迷宫走完才肯继续往下看。好的，没事，给你点时间走一遍。
走完迷宫了吗？这个迷宫没什么神奇的，肯定难不倒你。真正神奇的是，如果我们现在反过来把迷宫的黄色部分看成墙，把紫色部分看成路，就能立刻得到一个新的迷宫！有点难想象？我们保持迷宫的结构不变，把黄色变细、紫色加粗：
怎么样？新的迷宫诞生了！这回是老鼠找奶酪。还是给你一点时间自己走一走，然后再来往下看。
怎么样？确实是一个可以走的迷宫吧？这是怎么回事呢？
对偶迷宫
迷宫里的道路，本质上就是分岔，分岔，再分岔。大多数岔路最终通向死胡同，只有一条岔路会通往终点。把所有可以走的路全画出来，就会得到一系列连通的、没有“圈”的线条。在图论（graph theory）里，这种结构有一个形象的名称，叫作“树”（tree）。如果一个迷宫有进有出，这条路线就会把墙切分成不连通的两半；如果这个迷宫只进不出，终点在迷宫内部（就像找五角星的迷宫那样），那么围墙就不会被隔断了。同时，道路不含“圈”，也就意味着道路不会围出一段孤立的墙。所以，围墙是连通的。另一方面，如果围墙有圈，那就会围出一块“与世隔绝”的“道路岛”，与道路的连通性矛盾了。所以，围墙也不含“圈”。这意味着，围墙也形成了一棵树，因此它也能当一个迷宫来玩。
所以，迷宫和迷宫是成双结对的。一个迷宫的墙壁，就是另一个迷宫的道路。你看到的每个迷宫，其实都是一对交织在一起的对偶迷宫。
对偶多面体
古希腊人早就知道，正多面体只有五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。古希腊哲学家柏拉图（Plato）对此做过研究，因此这几个正多面体又叫作“柏拉图体”（Platonic solid）。
下面的表格列出了全部五种正多面体的顶点数和面数。观察里面的数据，你有什么发现？
这是巧合吗？正方体的顶点数等于正八面体的面数，而正方体的面数正好是正八面体的顶点数。正十二面体的顶点数和面数，正好是正二十面体的面数和顶点数。
其实，这并不是什么巧合。这背后的原因是——结合咱们今天的主题，你已经猜到了吧——正方体和正八面体是对偶多面体，正十二面体和正二十面体也是对偶多面体。
找出正方体的每个面的中心，再把相邻的面所对应的中心连在一起，就会得到一个正八面体；再作出正八面体的每个面的中心，和刚才一样把它们连起来，又会变回正方体。难怪它们的顶点数和面数是互相颠倒的。
正十二面体和正二十面体也是同样的关系。
等等，那正四面体怎么办？它和谁对偶呢？看了上面的动图，你也自己画一画，看看正四面体每个面的中心连线会连出什么？
公布答案：
没错，正四面体有点特殊，它和它自己对偶！
对偶定理
1639年，年仅16岁的法国数学家布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）发现了一个有趣的几何结论。人们把它叫作“帕斯卡定理”（Pascal's theorem）。
A、B、C、D、E、F是6个圆上的点。将直线AB记为l₁，将直线BC记为l₂，将直线CD记为l₃，将直线DE记为l₄，将直线EF记为l₅，将直线AF记为l₆。l₁、l₄交于点Q，l₂、l₅交于点R，l₃、l₆交于点S。则Q、R、S三点恰好在同一条直线上。
19世纪法国数学家夏尔·朱利安·布利安生（Charles Julien Brianchon）证明了著名的布利安生定理（Brianchon's theorem，又译作“布列安桑定理”）。它的内容如下：
a、b、c、d、e、f是6条圆的切线。a、b交于点P₁，b、c交于点P₂，c、d交于点P₃，d、e交于点P₄，e、f交于点P₅，a、f交于点P₆。将直线P₁P₄记为q，将直线P₂P₅记为r，将直线P₃P₆记为s。则q、r、s三线恰好经过同一个点。
诶？有没有觉得这两个定理很像？你的感觉没错，这两条定理就是一对对偶定理。把其中一个定理中的内容换成相对的意思，就变成另一个定理了。
圆上的点 ⇔ 圆的切线
两点确定的直线 ⇔ 两直线确定的点
三点共线 ⇔ 三线共点
上面这两个定理都是射影几何（projective geometry）当中的经典定理。射影几何里有很多对偶定理。例如，梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）和塞瓦定理（Ceva's theorem）也是对偶定理，而笛沙格定理（Desargues' theorem）则和它自己的逆定理是对偶的。
对偶，是一种比“一模一样”更加浪漫的对称，更像是命中注定的一对。今天的冷知识佐着中秋圆月的月光， 别有一番滋味哦！
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