晚上好！2024年的第37周！
本周的啊哈数是：𝟕。
生活中，我们经常可以看到带状的重复对称花纹纹饰。下图就是两种不同的带状纹饰。
你知道吗？带状纹饰中也有数学。数学中的“群论”（group theory）是一个强大的代数工具，可以很好地描述各种对称现象。用于描述带状纹饰的群，就是“饰带群”（frieze group）。数学家们已经证明了，饰带群有且只有𝟕个。
平移对称性
在地毯边缘、镜子外框、花瓶颈部、殿宇横梁……古今中外，到处都可以见到各种各样的纹饰。什么样的纹饰算带状纹饰呢？
带状纹饰最基本的要求，就是朝着一个方向不断重复。像下图这样，如果整个图案是沿着某条直线发展的，图案平移适当距离后，所得的图案会与原来完全重合。如果满足这样的条件，我们就说，这样的图案具有“平移对称性”。
为了方便后面的讲解，在这篇文章中，所有的纹饰都是水平放置的。也就是说，接下来所说的平移默认都是左右平移。
轴对称和中心对称
在平移对称性的基础上，有的带状纹饰还具有水平轴对称性。也就是说，沿着一条水平线上下翻折后，整个纹饰保持不变。下图就是一个水平轴对称的图案。
有的带状纹饰还具有竖直轴对称性。也就是说，沿着某些竖线左右翻折后，整个纹饰保持不变。下图就是一个竖直轴对称的图案。
如果一个图案绕着某个点旋转180度后，整个图案与原来完全相同，我们就说这个图案是中心对称的。下图就是一个中心对称的图案。
更简单地说，中心对称图形就是那些倒过来看还和原来一样的图形。字母X就是中心对称的，而且也满足水平轴对称和竖直轴对称。字母N也是中心对称的，但是在任何一个方向上都不是轴对称的。字母F则既不是中心对称的，也不是轴对称的。到了九年级，大家还会进一步地研究中心对称。
滑动反射对称
在带状纹饰中，还会出现一种特殊的对称性，叫作“滑动反射对称”（glide reflection symmetry）。如果一个图案先绕着某条线翻折，再沿着这条线挪动一段距离，得到的图案与原来完全重合，我们就说这个图案具有滑动反射对称性。人在沙滩上行走，留下的一连串脚印就具有滑动反射对称性。
你来想想，如果对应我们刚刚一直用来举例的直角三角形图案，它的滑动反射对称版本应该是什么样的呢？试着画一画。
显然，具有滑动反射对称性的图形，一定是平移对称的。因为滑动反射一次后保持不变的图形，再来一次滑动反射也还是与原来一样，而连续两次滑动反射组合起来，其实就是一次纯粹的平移了。不过，具有滑动反射对称性的图形，不见得是轴对称的，也不见得是中心对称的。刚才提到的脚印就是很好的例子。
我们刚才请你画出了直角三角形的滑动反射对称版本，你画出来了吗？和下图一样吗？
7种带状纹饰
讲了这么多对称的类型，是时候给它们做些组合了。除了最基本的平移对称性，带状纹饰通常还会满足一个或多个其他的对称性，这样图案更复杂更美观。
数学家在研究带状纹饰的时候，为每一种对称组合取了一个代号。每一类带状纹饰，都会同时满足若干种对称类型。为了考验你们是不是真的理解了所有的对称类型，我们做个连线题。
下图中，左边是7种带状纹饰的样例，右边的表格是7种带状纹饰的代号和它们满足的对称类型，你来连连看，左边的图案分别是哪种带状纹饰类型的样例：
公布答案：
怎么样？你都连对了吗？这就是全部的7种带状纹饰。任何一个带状纹饰，一定属于上表列举的7种类型之一。
你可能注意到了，上面的表格并不是全部。如果不考虑实际情况，我们还能勾选出很多新的组合。但为什么可能的组合只有上述7种？我们把它当做思考题留给你，看看上面没有列出来的对称组合有没有可能存在。
这些对称方法你学会了吗，你能自己给每种类型再多画几个图例吗？相信今后你再看到好看的花边、条纹时，会产生很多新的理解和思考。
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